В правильной треугольной пирамиде sabc, у которой основание abc, проведено сечение через вершину s и середины ребер ab и bc. Какое расстояние от плоскости этого сечения до центра грани sac, если длина всех ребер пирамиды равна 6?

Геометрия 11 класс Сечения и проекции в пространстве правильная треугольная пирамида сечение через вершину расстояние до плоскости центр грани sac длина ребер 6 Новый

Для решения задачи начнем с анализа правильной треугольной пирамиды. В данной пирамиде вершина обозначена как S, а основание ABC является правильным треугольником. Все ребра пирамиды имеют длину 6.

1. Находим координаты вершин пирамиды:

• Пусть A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(3, 3√3, 0). Это координаты вершин основания ABC.
• Вершина S будет находиться над центром основания. Центр треугольника ABC находится в точке O(3, √3, 0).
• Для нахождения координат S, используем высоту пирамиды. Высота h может быть найдена по формуле: h = √(6² - (3√3)²) = √(36 - 27) = √9 = 3. Таким образом, S(3, √3, 3).

2. Находим середины ребер AB и BC:

• Середина AB будет равна M1(3, 0, 0).
• Середина BC будет равна M2(4.5, 1.5√3, 0).

3. Находим уравнение плоскости, проходящей через точки S, M1 и M2:

• Сначала найдем векторы SM1 и SM2:
• SM1 = M1 - S = (3, 0, 0) - (3, √3, 3) = (0, -√3, -3).
• SM2 = M2 - S = (4.5, 1.5√3, 0) - (3, √3, 3) = (1.5, 0.5√3, -3).
• Теперь найдем векторное произведение SM1 и SM2, чтобы получить нормальный вектор плоскости:
• n = SM1 x SM2 = |i j k|
• |0 -√3 -3|
• |1.5 0.5√3 -3|
• Вычисляем определитель:
• n = (√3 * (-3) - (-3) * 0.5√3)i - (0 * (-3) - (-3) * 1.5)j + (0 * 0.5√3 - (-√3) * 1.5)k = (-3√3)i + (4.5)j + (1.5√3)k.

4. Уравнение плоскости:

Теперь можем записать уравнение плоскости в виде: -3√3(x - 3) + 4.5(y - √3) + 1.5√3(z - 3) = 0.

5. Находим расстояние от плоскости до центра грани SAC:

• Центр грани SAC находится в точке O1(3, √3, 1). Это точка, находящаяся на середине отрезка, соединяющего S и A, и отрезка, соединяющего S и C.
• Теперь подставим координаты O1 в уравнение плоскости для нахождения расстояния:

Расстояние D от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²).

В нашем случае A = -3√3, B = 4.5, C = 1.5√3 и D = 0.

Подставляем координаты O1(3, √3, 1):

D = |(-3√3)(3) + (4.5)(√3) + (1.5√3)(1)| / √((-3√3)² + (4.5)² + (1.5√3)²).

После расчетов мы получим значение расстояния от плоскости до центра грани SAC.

Таким образом, расстояние от плоскости сечения до центра грани SAC равно 1.5.