Какой угол образуют векторы m и q, если q = m - 2n + 3p, а m, n и p являются единичными взаимно перпендикулярными векторами?

Геометрия 11 класс Углы между векторами угол векторов векторы m и q единичные векторы взаимно перпендикулярные векторы геометрия 11 класс Новый

Для того чтобы найти угол между векторами m и q, нам нужно использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами. Эта формула выглядит следующим образом:

cos(α) = (m · q) / (|m| * |q|)

Где:

• α - угол между векторами m и q;
• m · q - скалярное произведение векторов m и q;
• |m| и |q| - длины векторов m и q соответственно.

Теперь давайте найдем необходимые значения.

1. Определим длину вектора m:

Поскольку вектор m является единичным, его длина равна 1:

|m| = 1

2. Найдем вектор q:

Вектор q задан как:

q = m - 2n + 3p

3. Вычислим скалярное произведение m и q:

Сначала подставим выражение для q в формулу скалярного произведения:

m · q = m · (m - 2n + 3p)

Теперь воспользуемся свойствами скалярного произведения:

• m · m = |m|^2 = 1^2 = 1;
• m · n = 0 (векторы m и n перпендикулярны);
• m · p = 0 (векторы m и p перпендикулярны).

Таким образом, мы можем упростить выражение:

m · q = m · m - 2(m · n) + 3(m · p) = 1 - 2*0 + 3*0 = 1

4. Найдем длину вектора q:

Для нахождения длины вектора q мы используем формулу:

|q| = √(q · q) = √((m - 2n + 3p) · (m - 2n + 3p))

Раскроем скобки:

q · q = m · m - 2(m · n) + 3(m · p) - 2(2n · m) + 4(n · n) - 6(n · p) + 3(3p · m) - 6(p · n) + 9(p · p)

Подставим известные значения:

• m · m = 1;
• n · n = 1;
• p · p = 1;
• m · n = 0;
• m · p = 0;
• n · p = 0;

Таким образом, мы получаем:

q · q = 1 - 0 + 0 - 0 + 4*1 - 0 + 0 - 0 + 9*1 = 1 + 4 + 9 = 14

Следовательно, длина вектора q:

|q| = √14

5. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

Теперь мы можем найти косинус угла α:

cos(α) = (m · q) / (|m| * |q|) = 1 / (1 * √14) = 1 / √14

6. Найдем угол α:

Теперь, чтобы найти угол α, мы используем арккосинус:

α = arccos(1 / √14)

Таким образом, угол между векторами m и q равен arccos(1 / √14).