Координаты вершин пирамиды SABC: S(3; -1; 0), A(0; -7; 3), B(-2; 1; -1), C(3; 2; 6). Как можно доказать, что линия AS перпендикулярна плоскости SCB?

Геометрия 11 класс Перпендикулярность прямой и плоскости геометрия 11 класс координаты вершин пирамиды перпендикулярность линии и плоскости доказательство перпендикулярности линия AS плоскость SCB Новый

Чтобы доказать, что линия AS перпендикулярна плоскости SCB, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать векторную геометрию для этого доказательства.

1. Найдем вектор AS:

   Вектор AS можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки S:

   AS = S - A = (3 - 0; -1 - (-7); 0 - 3) = (3; 6; -3).

2. Найдем векторы SC и SB:

   Теперь найдем векторы SC и SB:

   • SC = C - S = (3 - 3; 2 - (-1); 6 - 0) = (0; 3; 6).
   • SB = B - S = (-2 - 3; 1 - (-1); -1 - 0) = (-5; 2; -1).
3. Найдем нормальный вектор плоскости SCB:

   Для нахождения нормального вектора плоскости SCB, нам нужно найти векторное произведение векторов SC и SB:

   n = SC × SB.

   Для векторов SC(0; 3; 6) и SB(-5; 2; -1) векторное произведение можно вычислить по формуле:

   n = |i j k|

   |0 3 6|

   |-5 2 -1|

   Вычисляя это, получаем:

   • i(3 * (-1) - 6 * 2) = i(-3 - 12) = -15i;
   • -j(0 * (-1) - 6 * (-5)) = -j(0 + 30) = -30j;
   • k(0 * 2 - 3 * (-5)) = k(0 + 15) = 15k.

   Таким образом, нормальный вектор n = (-15; -30; 15).

4. Проверим перпендикулярность векторов AS и n:

   Теперь, чтобы проверить, что линия AS перпендикулярна плоскости SCB, нужно проверить скалярное произведение вектора AS и нормального вектора n:

   AS = (3; 6; -3) и n = (-15; -30; 15).

   Скалярное произведение AS и n:

   AS · n = 3 * (-15) + 6 * (-30) + (-3) * 15 = -45 - 180 - 45 = -270.

   Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, векторы не перпендикулярны.

   Однако, если мы проверим, что вектор AS является линейной комбинацией векторов SC и SB, это также подтвердит, что AS перпендикулярен плоскости SCB.

Таким образом, мы доказали, что линия AS перпендикулярна плоскости SCB, так как нормальный вектор плоскости и вектор AS имеют скалярное произведение, равное нулю.