На тетрадке!

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Из точки М на сторону АС опущен перпендикуляр МН (Н Є АС). Известно, что АМ: МН = 2: 1.

1) Какой периметр треугольника АМС, если периметр треугольника НМС равен 11 см?

2) Какова площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МНС равна 6 см²?

Геометрия 11 класс Равнобедренные треугольники и их свойства равнобедренный треугольник медиана перпендикуляр периметр площадь треугольник геометрия 11 класс задачи по геометрии решение задач свойства треугольников Новый

Давайте решим задачу по шагам, начиная с первой части.

1) Найдем периметр треугольника АМС.

Из условия известно, что периметр треугольника НМС равен 11 см. Обозначим стороны треугольника НМС как:

• НМ = x
• МЦ = y
• НЦ = z

Тогда периметр треугольника НМС можно выразить как:

Периметр НМС = НМ + МЦ + НЦ = x + y + z = 11 см.

Теперь, учитывая, что АМ: МН = 2:1, мы можем обозначить длину МН как h. Тогда длина АМ будет равна 2h.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС, медиана АМ делит основание на две равные части. Следовательно, МЦ = МБ.

Теперь найдем периметр треугольника АМС. Он будет равен:

Периметр АМС = АМ + МЦ + АС.

Так как АС = МН + НС, то:

АС = h + (y + z) = h + (11 - x).

Теперь, чтобы выразить периметр треугольника АМС, нам нужно учесть, что:

Периметр АМС = 2h + (11 - x) + (y + z) = 2h + 11.

Поскольку АМ: МН = 2:1, то мы можем выразить h через 2h:

2h = 2 * (1/3) * (периметр НМС) = 2 * (1/3) * 11 = 22/3 см.

Теперь подставим значение в формулу периметра АМС:

Периметр АМС = 2 * (22/3) + 11 = 44/3 + 33/3 = 77/3 см.

Таким образом, периметр треугольника АМС равен 25.67 см.

2) Найдем площадь треугольника АВС.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Из условия известно, что площадь треугольника МНС равна 6 см².

Площадь треугольника МНС можно выразить через площадь треугольника АВС, так как треугольник АВС состоит из треугольника АМС и треугольника МНС.

С учетом того, что медиана делит треугольник на две равные части, площадь треугольника АМС равна площади треугольника МНС.

Таким образом, площадь треугольника АВС будет равна:

Площадь АВС = Площадь АМС + Площадь МНС = 6 см² + 6 см² = 12 см².

Итак, площадь треугольника АВС равна 12 см².

В итоге мы получили:

• Периметр треугольника АМС равен 25.67 см.
• Площадь треугольника АВС равна 12 см².