Чтобы найти высоту конуса и площадь его поверхности, нам нужно использовать некоторые геометрические соотношения и формулы. Давайте разберем задачу по шагам.

Обозначим:

• h - высота конуса;
• s - образующая конуса, равная 12 см;
• α - угол наклона образующей к основанию, равный 60 градусов.

В данном случае образующая, высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, высота - противолежащим катетом, а радиус основания - прилежащим катетом. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты:

Согласно определению синуса:

sin(α) = h / s

Отсюда мы можем выразить высоту:

h = s * sin(α)

Подставим известные значения:

h = 12 см * sin(60°)

Значение sin(60°) равно корень из 3 делить на 2 (примерно 0.866). Таким образом:

h = 12 см * 0.866 ≈ 10.392 см.

Теперь, чтобы найти радиус основания, мы можем использовать косинус угла:

cos(α) = r / s

где r - радиус основания. Выразим радиус:

r = s * cos(α)

Подставим известные значения:

r = 12 см * cos(60°)

Значение cos(60°) равно 0.5. Таким образом:

r = 12 см * 0.5 = 6 см.

Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности:

• Площадь основания (круг) = π * r²;
• Площадь боковой поверхности = π * r * s.

Теперь подставим значения:

Площадь основания = π * (6 см)² = π * 36 см².

Площадь боковой поверхности = π * 6 см * 12 см = 72π см².

Теперь сложим обе площади для нахождения полной площади поверхности:

Полная площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 36π см² + 72π см² = 108π см².

Высота конуса составляет примерно 10.392 см, а площадь его поверхности равна 108π см² (примерно 339.29 см², если подставить значение π ≈ 3.14).