Для решения задачи начнем с анализа данных и определения необходимых величин.

1. **Находим сторону основания пирамиды.**

Поскольку основание пирамиды - правильный треугольник, его площадь можно выразить через сторону a:

Площадь треугольника = (√3 / 4) * a².

Из условия задачи знаем, что площадь равна 9√3 см², поэтому:

(√3 / 4) * a² = 9√3.

Умножим обе стороны на 4:

√3 * a² = 36.

Теперь разделим обе стороны на √3:

a² = 36 / √3.

Упростим это выражение:

a² = 12√3.

Теперь найдем a:

a = √(12√3).

Для удобства, упростим это выражение:

a = 2√3√3 = 6 см.

2. **Находим длины боковых ребер пирамиды.**

Обозначим вершину пирамиды как O, а вершины основания как A, B, C.

Из условия задачи известно, что две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, значит, ребра OA и OB перпендикулярны к плоскости ABC.

Третья боковая грань наклонена под углом 30 градусов к плоскости основания, это означает, что угол между ребром OC и плоскостью ABC равен 30 градусов.

3. **Находим длину ребра OA и OB.**

Пусть длина OA = h (высота от O до плоскости ABC). Поскольку OA и OB перпендикулярны, они равны, то есть OA = OB = h.

Согласно свойствам правильного треугольника, высота h может быть найдена через площадь основания:

Площадь = (1/2) * a * h.

Подставим известные значения:

9√3 = (1/2) * 6 * h.

Умножим обе стороны на 2:

18√3 = 6h.

Теперь найдем h:

h = 3√3 см.

4. **Находим длину ребра OC.**

Так как угол между OC и плоскостью ABC равен 30 градусов, можем использовать тригонометрию:

cos(30) = (h / OC), где h = 3√3.

cos(30) = √3 / 2, поэтому:

√3 / 2 = (3√3) / OC.

Теперь выразим OC:

OC = (3√3) / (√3 / 2) = 6 см.

Таким образом, длины боковых ребер пирамиды:

• OA = 3√3 см,
• OB = 3√3 см,
• OC = 6 см.

5. **Находим площадь боковой поверхности пирамиды.**

Площадь боковой поверхности состоит из площадей трех треугольников: OAB, OAC и OBC.

Площадь треугольника OAB:

Площадь = (1/2) * AB * OA, где AB = 6 см и OA = 3√3 см.

Площадь OAB = (1/2) * 6 * 3√3 = 9√3 см².

Так как OAC и OBC имеют одинаковую высоту и основание:

Площадь OAC = (1/2) * AC * OA = (1/2) * 6 * 3√3 = 9√3 см².

Площадь OBC = (1/2) * BC * OB = (1/2) * 6 * 3√3 = 9√3 см².

Теперь суммируем площади трех боковых треугольников:

Площадь боковой поверхности = Площадь OAB + Площадь OAC + Площадь OBC = 9√3 + 9√3 + 9√3 = 27√3 см².

Итак, окончательный ответ:

• Длины боковых ребер: OA = 3√3 см, OB = 3√3 см, OC = 6 см.
• Площадь боковой поверхности: 27√3 см².