Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2 корень из 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:

1. измерения параллелепипеда;
2. синус угла между диагональю параллепипеда и плоскостью его основания.

Помогите пожалуйста, завтра сдавать)

Геометрия 11 класс Прямоугольные параллелепипеды и их свойства геометрия 11 класс диагональ параллелепипеда отношение измерений синус угла плоскость основания подготовка к экзамену помощь с геометрией 2 корень из 6 см Новый

Конечно, давайте разберем задачу по шагам.

1. Найдем измерения параллелепипеда.

Пусть стороны основания квадрата равны a. Так как измерения параллелепипеда относятся как 1:1:2, то высота параллелепипеда будет равна 2a.

Диагональ параллелепипеда равна 2√6 см. Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

d = √(a² + a² + (2a)²)

Подставим известное значение диагонали:

2√6 = √(a² + a² + 4a²)

Упростим выражение под корнем:

2√6 = √(6a²)

Так как √(6a²) = a√6, получаем уравнение:

2√6 = a√6

Разделим обе части на √6:

2 = a

Таким образом, стороны основания квадрата равны 2 см, а высота параллелепипеда равна 4 см.

Итак, измерения параллелепипеда:

• Длина: 2 см
• Ширина: 2 см
• Высота: 4 см

2. Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Обозначим диагональ параллелепипеда через d, а диагональ основания квадрата через e.

Диагональ основания квадрата можно найти по формуле:

e = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2

Подставим значение a = 2 см:

e = 2√2 см

Теперь найдем косинус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Для этого используем скалярное произведение векторов. Векторы диагонали параллелепипеда и диагонали основания будут:

• Вектор диагонали параллелепипеда: (2, 2, 4)
• Вектор диагонали основания: (2, 2, 0)

Косинус угла между векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁² + y₁² + z₁²) * √(x₂² + y₂² + z₂²))

Подставим значения:

cos(θ) = (2*2 + 2*2 + 4*0) / (√(2² + 2² + 4²) * √(2² + 2² + 0²))

Упростим числитель и знаменатель:

cos(θ) = (4 + 4) / (√(4 + 4 + 16) * √(4 + 4)) = 8 / (√24 * √8) = 8 / (2√6 * 2√2) = 8 / (4√12) = 8 / (4 * 2√3) = 8 / 8√3 = 1 / √3 = √3 / 3

Теперь найдем синус угла:

sin(θ) = √(1 - cos²(θ)) = √(1 - (√3 / 3)²) = √(1 - 3 / 9) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = √2 / √3 = √6 / 3

Ответ:

1. Измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см, 4 см.
2. Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: √6 / 3.