Конечно, давайте разберемся с вашим вопросом шаг за шагом.
а) Найдем измерения параллелепипеда.
Пусть длина стороны основания квадрата равна a. Поскольку измерения параллелепипеда относятся как 1:1:2, то высота параллелепипеда будет равна 2a. Таким образом, мы можем записать измерения параллелепипеда как:
- ширина = a,
- длина = a,
- высота = 2a.
Теперь найдем диагональ параллелепипеда. Формула для вычисления диагонали D прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c выглядит так:
D = √(a² + b² + c²).
В нашем случае:
- a = a (ширина),
- b = a (длина),
- c = 2a (высота).
Подставим эти значения в формулу:
D = √(a² + a² + (2a)²) = √(a² + a² + 4a²) = √(6a²) = √6 * a.
Согласно условию, диагональ параллелепипеда равна 2√6 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:
√6 * a = 2√6.
Теперь разделим обе стороны на √6:
a = 2 см.
Теперь можем найти высоту:
h = 2a = 2 * 2 = 4 см.
Таким образом, измерения параллелепипеда:
- ширина = 2 см,
- длина = 2 см,
- высота = 4 см.
б) Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Чтобы найти синус угла, нам нужно знать длину диагонали основания и высоту параллелепипеда.
1. Длина диагонали основания (квадрата) вычисляется по формуле D_основания = a√2. В нашем случае:
D_основания = 2√2 см.
2. Теперь мы можем использовать высоту параллелепипеда, которая равна 4 см.
3. Теперь мы можем найти синус угла между диагональю и плоскостью основания. Синус угла θ можно найти по формуле:
sin(θ) = противолежащий катет / гипотенуза.
Противолежащий катет — это высота параллелепипеда (h = 4 см), а гипотенуза — это диагональ параллелепипеда (D = 2√6 см).
Таким образом, получаем:
sin(θ) = h / D = 4 / (2√6) = 2 / √6.
Теперь, чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на √6:
sin(θ) = (2√6) / 6 = √6 / 3.
Итак, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен √6 / 3.
Ответ:
- Измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см, 4 см.
- Синус угла между диагональю и плоскостью основания: √6 / 3.
Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать! Удачи на экзамене!