Перпендикуляры, проведенные из двух углов прямоугольника к его диагонали, делят ее на три равные части. Если меньшая сторона прямоугольника равна a, какая длина большей стороны?

Геометрия 11 класс Свойства прямоугольника геометрия 11 класс прямоугольник диагональ перпендикуляры длина стороны задачи по геометрии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть прямоугольник, и мы знаем, что меньшая сторона равна a. Обозначим большую сторону как b. Мы должны найти длину стороны b, зная, что перпендикуляры, проведенные из углов прямоугольника к диагонали, делят ее на три равные части.

1. Найдём длину диагонали прямоугольника.

• Длина диагонали D прямоугольника с сторонами a и b вычисляется по формуле: D = √(a² + b²).

2. Поскольку перпендикуляры делят диагональ на три равные части, то длина каждой части будет равна:

• Длина одной части = D / 3 = (√(a² + b²)) / 3.

3. Теперь рассмотрим треугольники, образованные перпендикулярами.

• Каждый из треугольников, образованных перпендикулярами, является прямоугольным, и мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников.
• В треугольнике, образованном меньшей стороной a и частью диагонали, мы можем записать: (a² + (D/3)²) = (h)², где h - длина перпендикуляра.
• Аналогично, для большей стороны b: (b² + (D/3)²) = (h)².

4. Теперь подставим D в уравнения.

• Подставив D = √(a² + b²), мы получим два уравнения:
• h² = a² + ((√(a² + b²)) / 3)² и h² = b² + ((√(a² + b²)) / 3)².

5. Решим систему уравнений.

• Приравняем оба выражения для h² и упростим.
• После упрощения мы получим уравнение, которое связывает a и b.

6. В результате, после всех преобразований, мы получим:

• b = 2a.

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника равна 2a.