Для решения данной задачи мы будем использовать свойства параллельных прямых и плоскостей, а также некоторые геометрические теоремы.

Шаг 1: Доказательство, что плоскость ABC параллельна плоскости A1B1C1.

• Поскольку прямые A1A, B1B и C1C попарно параллельны и не лежат в одной плоскости, то они образуют две плоскости: ABC и A1B1C1.
• По определению, если две плоскости содержат хотя бы одну пару параллельных прямых, то эти плоскости параллельны.
• В нашем случае, прямые AA1, BB1 и CC1 являются параллельными, следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны.

Шаг 2: Доказательство, что угол BAC равен углу B1A1C1.

• Углы BAC и B1A1C1 образованы пересечением прямых AB и A1B1, а также AC и A1C1.
• Так как плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, то соответствующие углы при параллельных прямых равны.
• Следовательно, угол BAC равен углу B1A1C1.

Шаг 3: Доказательство, что прямая пересечения плоскостей B1AC и BA1C1 параллельна плоскостям ABC и A1C1C.

• Плоскости B1AC и BA1C1 пересекаются по прямой, которая будет обозначена как D.
• Поскольку плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, то прямая D будет перпендикулярна к этим плоскостям.
• Таким образом, прямая D будет параллельна плоскостям ABC и A1C1C, так как обе плоскости содержат параллельные прямые.

Шаг 4: Доказательство, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников ABC и A1B1C1, параллельна прямым AA1, BB1 и CC1.

• Медианы треугольников ABC и A1B1C1 пересекаются в точках, которые делят каждую медиану в отношении 2:1.
• Поскольку треугольники ABC и A1B1C1 подобны (из-за равных отрезков и равенства углов), то их медианы также будут параллельны.
• Следовательно, прямая, проходящая через точки пересечения медиан, будет параллельна прямым AA1, BB1 и CC1.

Таким образом, мы доказали все необходимые утверждения, используя свойства параллельных прямых и плоскостей, а также свойства треугольников.