Сторона квадрата ABCD равна 2 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, угол ABM равен 60 градусов. Как определить расстояние от точки M до прямой BD? (с рисунком)

Геометрия 11 класс Пространственная геометрия геометрия 11 класс расстояние от точки до прямой квадрат ABCD угол ABM отрезок AM Перпендикуляр к плоскости решение задачи по геометрии свойства квадрата треугольник ABM угол 60 градусов Новый

Для решения задачи нам нужно определить расстояние от точки M до прямой BD в пространстве. Давайте разберем шаги, которые помогут нам это сделать.

Шаг 1: Определим координаты точек квадрата ABCD.

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)

Так как сторона квадрата равна 2 см, мы можем расположить квадрат в координатной плоскости, где точка A находится в начале координат.

Шаг 2: Определим координаты точки M.

Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, значит, координаты точки M будут иметь ту же x и y координаты, что и точка A, но z-координата будет равна высоте, которую мы можем найти, используя угол ABM.

Угол ABM равен 60 градусов. В треугольнике ABM, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты AM:

• AM = AB * sin(60°) = 2 * (√3/2) = √3 см

Таким образом, координаты точки M будут:

• M(0, 0, √3)

Шаг 3: Найдем уравнение прямой BD.

Прямая BD проходит через точки B и D. Мы можем найти векторы, описывающие эту прямую:

• Вектор BD = D - B = (0, 2, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 2, 0)

Уравнение прямой BD можно записать в параметрической форме:

• x = 2 - 2t
• y = 2t
• z = 0

Шаг 4: Найдем расстояние от точки M до прямой BD.

Расстояние от точки до прямой в пространстве можно найти по формуле:

расстояние = |(P - A) × D| / |D|, где P - точка M, A - точка на прямой (например, B), D - направляющий вектор прямой BD.

• P(0, 0, √3)
• A(2, 0, 0)
• D(-2, 2, 0)

Теперь найдем вектор (P - A):

• P - A = (0 - 2, 0 - 0, √3 - 0) = (-2, 0, √3)

Теперь найдем векторное произведение (P - A) × D:

• (-2, 0, √3) × (-2, 2, 0) = (0*0 - 2*√3, √3*(-2) - 0*(-2), -2*2 - 0*(-2)) = (-2√3, -2√3, 0)

Теперь найдем длину этого вектора:

• |(-2√3, -2√3, 0)| = √((-2√3)² + (-2√3)² + 0²) = √(12 + 12) = √24 = 2√6

Теперь найдем длину вектора D:

• |D| = |(-2, 2, 0)| = √((-2)² + 2² + 0²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Теперь подставим в формулу для расстояния:

расстояние = |(P - A) × D| / |D| = (2√6) / (2√2) = √3 см.

Ответ: Расстояние от точки M до прямой BD равно √3 см.