Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна корень из 2, а её диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30 градусов. Каков объём этой призмы?

Геометрия 11 класс Объём правильной призмы геометрия 11 класс правильная четырехугольная призма сторона основания диагональ угол 30 градусов объём призмы задачи по геометрии объем правильной призмы геометрические фигуры Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная четырёхугольная призма с основанием, сторона которого равна корень из 2. Также известно, что диагональ призмы образует угол 30 градусов с плоскостью боковой грани.

Первым шагом найдем длину диагонали призмы. Мы знаем, что синус угла 30 градусов равен 1/2. Используя это, мы можем записать следующее уравнение:

• sin(30) = √2 / D, где D — это длина диагонали призмы.

Из этого уравнения выразим D:

• D = √2 / sin(30).
• Так как sin(30) = 1/2, подставим это значение:
• D = √2 / (1/2) = 2√2.

Теперь, чтобы найти высоту призмы, воспользуемся теоремой Пифагора. Мы знаем, что диагональ основания (d) можно найти по формуле:

• d² = (√2)² + (√2)² = 2 + 2 = 4.
• Следовательно, d = 2.

Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты призмы (H). По теореме Пифагора у нас есть:

• (2√2)² = H² + d².
• Подставим известные значения:
• 8 = H² + 4.
• Тогда H² = 8 - 4 = 4.
• Следовательно, H = 2.

Теперь, когда мы знаем площадь основания и высоту призмы, можем найти объём призмы. Площадь основания S равна:

• S = (√2)² = 2.

Теперь можем вычислить объём V призмы:

• V = S * H = 2 * 2 = 4.

Таким образом, объём правильной четырёхугольной призмы равен 4.

Ответ: 4.