Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная четырёхугольная призма с основанием, сторона которого равна корень из 2. Также известно, что диагональ призмы образует угол 30 градусов с плоскостью боковой грани.

Первым шагом найдем длину диагонали призмы. Мы знаем, что синус угла 30 градусов равен 1/2. Используя это, мы можем записать следующее уравнение:

• sin(30) = √2 / D, где D — это длина диагонали призмы.

Из этого уравнения выразим D:

• D = √2 / sin(30).
• Так как sin(30) = 1/2, подставим это значение:
• D = √2 / (1/2) = 2√2.

Теперь, чтобы найти высоту призмы, воспользуемся теоремой Пифагора. Мы знаем, что диагональ основания (d) можно найти по формуле:

• d² = (√2)² + (√2)² = 2 + 2 = 4.
• Следовательно, d = 2.

Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты призмы (H). По теореме Пифагора у нас есть:

• (2√2)² = H² + d².
• Подставим известные значения:
• 8 = H² + 4.
• Тогда H² = 8 - 4 = 4.
• Следовательно, H = 2.

Теперь, когда мы знаем площадь основания и высоту призмы, можем найти объём призмы. Площадь основания S равна:

• S = (√2)² = 2.

Теперь можем вычислить объём V призмы:

• V = S * H = 2 * 2 = 4.

Таким образом, объём правильной четырёхугольной призмы равен 4.

Ответ: 4.