Похожие вопросы
2025-08-26 21:41:18
Стороны треугольника ABC удовлетворяют равенству AC² = BC² + AB² + √(2AB·BC). Какой угол ∠ABC в этом треугольнике? Варианты: A) 45° B) 60° C) 120° D) 135°
Геометрия 11 класс Треугольники угол треугольника ABC стороны треугольника равенство AC² угол ∠ABC геометрия 11 класс задачи по геометрии Тригонометрия свойства треугольников
2025-08-26 21:41:39
Давайте рассмотрим данное равенство: AC² = BC² + AB² + √(2AB·BC). Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы выразить стороны треугольника через угол ∠ABC.
Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC выполняется следующее равенство:
- AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(∠ABC)
Теперь сравним это выражение с нашим равенством:
- AC² = BC² + AB² + √(2AB·BC)
Мы можем приравнять правые части этих равенств:
- AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(∠ABC) = BC² + AB² + √(2AB·BC)
Теперь упростим это уравнение:
- AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(∠ABC) = AB² + BC² + √(2AB·BC)
- −2·AB·BC·cos(∠ABC) = √(2AB·BC)
Теперь разделим обе стороны на AB·BC (при условии, что AB и BC не равны нулю):
- −2·cos(∠ABC) = √(2/(AB·BC))
Теперь выразим cos(∠ABC):
- cos(∠ABC) = −√(2/(2·AB·BC))
- cos(∠ABC) = −1/√(AB·BC)
Теперь мы знаем, что cos(∠ABC) отрицательный, что указывает на то, что угол ∠ABC больше 90°. Из предложенных вариантов мы можем проверить, какой из них соответствует этому условию:
- A) 45° - cos(45°) > 0
- B) 60° - cos(60°) > 0
- C) 120° - cos(120°) < 0
- D) 135° - cos(135°) < 0
Таким образом, подходящие углы - это 120° и 135°. Однако, чтобы определить, какой из них подходит лучше, нужно проверить, какой угол больше соответствует полученному значению cos(∠ABC).
Из предложенных вариантов, угол 135° является более подходящим, так как он ближе к значениям, которые мы получили. Таким образом, правильный ответ:
D) 135°