Для решения задачи начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, в котором известны длины сторон AB и BC, а также угол A. Кроме того, нам дано отношение отрезков AM и MC.

Шаг 1: Определим длину отрезка AC.

Сначала найдем длину отрезка AC, используя теорему косинусов. Напомним, что теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)

где:

• c - длина стороны, противолежащей углу γ (в нашем случае это сторона AC),
• a и b - длины двух других сторон (AB и BC),
• γ - угол между сторонами a и b (в нашем случае угол A).

Подставим известные значения:

• AB = 8 см,
• BC = 4 см,
• угол A = 60°.

Теперь подставим эти значения в формулу:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(60°)

AC² = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * (1/2)

AC² = 64 + 16 - 32

AC² = 48

AC = √48 = 4√3 см.

Шаг 2: Найдем длины отрезков AM и MC.

Теперь, зная, что отношение AM к MC равно 3:1, обозначим:

• AM = 3x,
• MC = x.

Тогда длина отрезка AC будет равна:

AC = AM + MC = 3x + x = 4x.

Мы уже нашли, что AC = 4√3 см, следовательно:

4x = 4√3

x = √3.

Теперь подставим значение x, чтобы найти AM и MC:

• AM = 3x = 3√3 см,
• MC = x = √3 см.

Шаг 3: Найдем длину отрезка BM.

Теперь воспользуемся теоремой о пропорциональности отрезков, проведенных из вершины треугольника к противоположной стороне. В нашем случае мы можем использовать теорему о медианах или воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка BM:

BM² = AB² - AM².

Подставим известные значения:

BM² = 8² - (3√3)²

BM² = 64 - 27

BM² = 37

BM = √37 см.

Итак, длина отрезка BM равна √37 см.