В четырехугольнике PQRS углы ∠PQR и ∠PRS являются прямыми. Даны длины сторон: PQ = 12 м, QR = 9 м и RS = 8 м. Какова длина стороны PS и какое расстояние от точки R до линии PS? (Подсказка: Найдите площадь треугольника PRS двумя разными способами)

Геометрия 11 класс Площадь треугольника геометрия 11 класс четырёхугольник PQRS углы PQR PRS длины сторон площадь треугольника PRS длина стороны PS расстояние от точки R линия PS Новый

Для решения задачи начнем с анализа четырехугольника PQRS. Из условия известно, что углы ∠PQR и ∠PRS являются прямыми, а также даны длины сторон: PQ = 12 м, QR = 9 м и RS = 8 м.

Мы можем разбить четырехугольник на два треугольника: треугольник PQR и треугольник PRS. Рассмотрим их по отдельности.

1. Находим площадь треугольника PQR:

• Треугольник PQR является прямоугольным, так как ∠PQR = 90°.
• Площадь треугольника PQR можно найти по формуле: Площадь = 1/2 * основание * высота.
• В нашем случае основание PQ = 12 м, высота QR = 9 м.
• Следовательно, площадь PQR = 1/2 * 12 * 9 = 54 м².

2. Находим площадь треугольника PRS:

• Теперь рассмотрим треугольник PRS. Чтобы найти его площадь, мы можем использовать формулу Герона, но проще воспользоваться тем, что у нас есть прямой угол ∠PRS.
• Площадь треугольника PRS можно выразить через сторону RS и высоту от точки P до линии RS.
• В данном случае мы не знаем длину стороны PS, но можем выразить высоту через площадь треугольника.

3. Выражаем площадь треугольника PRS:

• Площадь треугольника PRS также можно выразить как: Площадь = 1/2 * основание * высота, где основание RS = 8 м, а высота - это расстояние от точки P до линии RS.
• Обозначим высоту от точки P до линии RS как h.
• Тогда площадь PRS = 1/2 * 8 * h = 4h.
• Поскольку площадь треугольника PQR и PRS составляют площадь четырехугольника PQRS, можем записать: 54 + 4h = площадь PQRS.
• Но также мы знаем, что площадь треугольника PRS = 1/2 * PS * h.

4. Сравнение двух выражений для площади:

• Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника PRS: 1/2 * PS * h = 4h.
• Сокращая h (при условии, что h не равно 0), получаем: PS = 8 м.

5. Находим расстояние от точки R до линии PS:

• Теперь, зная длину стороны PS, можем найти расстояние от точки R до линии PS.
• Так как угол ∠PRS является прямым, то расстояние от точки R до линии PS будет равно длине QR, которая равна 9 м.

Ответ:

• Длина стороны PS = 8 м.
• Расстояние от точки R до линии PS = 9 м.