В кубе АА1BB1CC1DD1 какой угол образует прямая A1B с плоскостью BCC1?

Геометрия 11 класс Угол между прямой и плоскостью геометрия 11 класс куб угол прямая плоскость A1B BCC1 пространственная геометрия задачи по геометрии Новый

Для нахождения угла между прямой и плоскостью, мы можем использовать векторный подход. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим координаты вершин куба

Предположим, что куб имеет длину ребра 1 и расположен в трехмерной системе координат следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B(1, 0, 0)
• B1(1, 0, 1)
• C(1, 1, 0)
• C1(1, 1, 1)
• D(0, 1, 0)
• D1(0, 1, 1)

Шаг 2: Найдем вектор прямой A1B

Вектор A1B можно найти, вычитая координаты точки A1 из координат точки B:

• A1B = B - A1 = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)

Шаг 3: Найдем нормальный вектор плоскости BCC1

Плоскость BCC1 определяется тремя точками: B(1, 0, 0), C(1, 1, 0) и C1(1, 1, 1). Для нахождения нормального вектора плоскости, мы можем использовать векторы BC и BC1:

• BC = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
• BC1 = C1 - B = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1, 1)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости BCC1 с помощью векторного произведения BC и BC1:

• n = BC x BC1 = |i j k|
• |0 1 0|
• |0 1 1|

Вычисляя детерминант, получаем:

• n = (1*1 - 0*1)i - (0*1 - 0*0)j + (0*0 - 0*0)k = (1, 0, 0)

Шаг 4: Найдем угол между вектором A1B и нормальным вектором плоскости

Теперь мы можем найти угол между вектором A1B и нормальным вектором плоскости BCC1. Для этого используем формулу:

• cos(θ) = (A1B · n) / (|A1B| * |n|)

Сначала найдем скалярное произведение A1B и n:

• A1B · n = (1, 0, -1) · (1, 0, 0) = 1 * 1 + 0 * 0 + (-1) * 0 = 1

Теперь найдем длины векторов:

• |A1B| = sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
• |n| = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1

Теперь подставим значения в формулу:

• cos(θ) = 1 / (sqrt(2) * 1) = 1/sqrt(2)

Шаг 5: Найдем угол θ

Угол θ можно найти как:

• θ = arccos(1/sqrt(2)) = 45°

Шаг 6: Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой A1B и плоскостью BCC1 равен 90° - θ, так как угол между вектором и нормалью к плоскости дополняет угол между прямой и самой плоскостью:

• Угол = 90° - 45° = 45°

Таким образом, угол, который образует прямая A1B с плоскостью BCC1, равен 45 градусам.