В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где ABCD - квадрат со стороной 2 см, а боковые грани - прямоугольники, длина отрезка B1D равна 5 см. Какой угол образует отрезок B1D с плоскостью ABC?

Геометрия 11 класс Угол между прямой и плоскостью параллелепипед угол отрезок плоскость геометрия квадрат прямоугольники длина отрезка ABCD B1D 11 класс Новый

Для того чтобы найти угол между отрезком B1D и плоскостью ABC, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение координат вершин параллелепипеда

Сначала запишем координаты вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, h)
• B1(2, 0, h)
• C1(2, 2, h)
• D1(0, 2, h)

Где h - высота параллелепипеда. Поскольку длина отрезка B1D равна 5 см, мы можем найти h.

Шаг 2: Вычисление высоты h

Длина отрезка B1D можно найти по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

Расстояние B1D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставляем координаты точек B1(2, 0, h) и D(0, 2, 0):

1. x1 = 2, y1 = 0, z1 = h
2. x2 = 0, y2 = 2, z2 = 0

Таким образом, получаем:

√((0 - 2)² + (2 - 0)² + (0 - h)²) = 5

Это упростится до:

√(4 + 4 + h²) = 5

Принимаем квадрат обеих сторон:

4 + 4 + h² = 25

h² = 25 - 8 = 17

h = √17 см

Шаг 3: Нахождение угла между отрезком B1D и плоскостью ABC

Теперь, чтобы найти угол между отрезком B1D и плоскостью ABC, мы можем использовать векторное представление.

Шаг 4: Определение векторов

Вектор B1D можно определить как:

B1D = D - B1 = (0, 2, 0) - (2, 0, h) = (-2, 2, -h)

Подставляем h = √17:

B1D = (-2, 2, -√17)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC. Плоскость ABC лежит в плоскости Z = 0, и ее нормальный вектор будет (0, 0, 1).

Шаг 5: Использование скалярного произведения

Угол между вектором и нормальным вектором можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(φ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A = B1D, B = нормальный вектор.

Сначала находим скалярное произведение:

A · B = (-2, 2, -√17) · (0, 0, 1) = 0 + 0 - √17 = -√17.

Теперь найдем длины векторов:

|A| = √((-2)² + 2² + (-√17)²) = √(4 + 4 + 17) = √25 = 5.

|B| = √(0² + 0² + 1²) = 1.

Теперь подставляем в формулу:

cos(φ) = -√17 / (5 * 1) = -√17 / 5.

Шаг 6: Нахождение угла

Теперь можем найти угол φ:

φ = arccos(-√17 / 5).

Таким образом, угол между отрезком B1D и плоскостью ABC равен arccos(-√17 / 5).