В кубе ABCDA1B1C1D1, какова градусная мера угла, который образуется полуплоскостями (АВС) и (ВСD1)?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями угол в кубе геометрия 11 класс полуплоскости ABC полуплоскости BCD1 градусная мера угла Новый

Чтобы найти градусную меру угла между полуплоскостями (ABC) и (VCD1) в кубе ABCDA1B1C1D1, давайте следовать пошагово:

1. Определим плоскости:
   • Плоскость (ABC) проходит через точки A, B и C.
   • Плоскость (VCD1) проходит через точки B, C и D1.
2. Найдем нормали к плоскостям:
   • Для плоскости (ABC) нормаль можно найти, используя векторы AB и AC.
   • Векторы: AB = B - A и AC = C - A.
   • Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0). Тогда:
   • AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
   • AC = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)
   • Нормаль к плоскости (ABC) будет равна векторному произведению AB и AC:
   • n1 = AB x AC = (1, 0, 0) x (1, 1, 0) = (0, 0, 1).
   • Таким образом, нормаль n1 = (0, 0, 1).
   • Теперь найдем нормаль для плоскости (VCD1), где V = B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D1(1, 1, 1):
   • Векторы: VC = C - V и VD1 = D1 - V.
   • VC = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
   • VD1 = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1, 1)
   • Нормаль n2 = VC x VD1 = (0, 1, 0) x (0, 1, 1) = (1, 0, 0).
3. Найдем угол между нормалями:
   • Угол между нормалями n1 и n2 можно найти с помощью формулы:
   • cos(θ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|), где • - скалярное произведение.
   • Скалярное произведение n1 • n2 = (0, 0, 1) • (1, 0, 0) = 0.
   • Длину нормалей n1 и n2 можно найти:
   • |n1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1
   • |n2| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.
   • Подставляем в формулу:
   • cos(θ) = 0 / (1 * 1) = 0.
   • Угол θ = 90 градусов.

Ответ: Градусная мера угла, образуемого полуплоскостями (ABC) и (VCD1), равна 90 градусов.