В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, угол A составляет 30°, длина AC равна 2, а DC перпендикулярно ABC и равно корень из 3, каков угол между плоскостями ADB и ACB?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями прямоугольный треугольник угол A угол C длина AC Угол между плоскостями плоскости ADB и ACB геометрия 11 класс Новый

Для начала давайте проанализируем условия задачи. У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом C равным 90°, углом A равным 30°, и длиной AC равной 2. Мы также знаем, что DC перпендикулярно плоскости ABC и его длина равна корень из 3.

1. **Определим длины сторон треугольника ABC.**

• Угол A равен 30°, следовательно, угол B равен 60° (так как сумма углов в треугольнике 180°).
• Согласно свойствам треугольника с углом 30°, длина стороны, противолежащей углу 30°, составляет половину гипотенузы. В нашем случае AC = 2, значит, гипотенуза AB будет равна 4.
• Сторона BC, которая противолежит углу 60°, будет равна AC * корень из 3 (по свойству треугольника 30°-60°-90°). Таким образом, BC = 2 * корень из 3.

2. **Рассмотрим плоскости ADB и ACB.**

Плоскость ACB – это плоскость, в которой находится треугольник ABC. Плоскость ADB включает точку D, которая находится над плоскостью ACB и перпендикулярна ей.

3. **Определим угол между плоскостями.**

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Для этого нам нужно найти нормальные векторы к плоскостям ADB и ACB.

4. **Находим нормальные векторы.**

• Для плоскости ACB нормальный вектор можно найти, используя векторы AB и AC:
• Вектор AB = (4, 0, 0) - (2, 0, 0) = (2, 0, 0).
• Вектор AC = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0).
• Нормальный вектор к плоскости ACB будет равен векторному произведению AB и AC.
• Для плоскости ADB нормальный вектор будет направлен вверх (по оси Z), так как точка D перпендикулярна плоскости ACB. Таким образом, нормальный вектор к плоскости ADB будет (0, 0, 1).

5. **Находим угол между нормальными векторами.**

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|),

где n1 и n2 - нормальные векторы, а |n1| и |n2| - их длины.

6. **Определяем угол.**

После подстановки значений и вычислений мы можем найти угол между плоскостями ADB и ACB. Учитывая, что одна из плоскостей перпендикулярна, мы можем сделать вывод, что угол между ними равен 90°.

Таким образом, угол между плоскостями ADB и ACB составляет 90°.