В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, все грани которого являются прямоугольниками, точка E находится в середине ребра AB. Даны размеры: AA1 = 3, AD = 4 и AB = 24. Какой косинус угла между прямой DE и:

1. плоскостью грани BCC1B1;
2. плоскостью грани DCC1D1?

Заранее спасибо за помощь!

Геометрия 11 класс Косинус угла между прямой и плоскостью параллелепипед геометрия косинус угла плоскость ребро размеры E de BCC1B1 DCC1D1 Новый

Для начала давайте определим координаты всех вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Мы будем использовать следующую систему координат:

• A(0, 0, 0)
• B(24, 0, 0)
• C(24, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(24, 0, 3)
• C1(24, 4, 3)
• D1(0, 4, 3)

Теперь найдем координаты точки E, которая находится в середине ребра AB:

• E((0 + 24)/2, 0, 0) = (12, 0, 0)

Теперь найдем координаты точки D, которая уже определена как D(0, 4, 0).

Теперь нам нужно найти вектор DE:

• DE = E - D = (12 - 0, 0 - 4, 0 - 0) = (12, -4, 0)

Теперь давайте определим нормали к плоскостям грани BCC1B1 и DCC1D1.

1. Плоскость BCC1B1:

Эта плоскость определяется векторами BC и BB1:

• BC = C - B = (24 - 24, 4 - 0, 0 - 0) = (0, 4, 0)
• BB1 = B1 - B = (24 - 24, 0 - 0, 3 - 0) = (0, 0, 3)

Теперь найдем векторное произведение BC и BB1, чтобы получить нормаль к плоскости:

• n1 = BC x BB1 = |i j k|
• |0 4 0|
• |0 0 3|

Вычисляем детерминант:

• n1 = (4*3 - 0*0)i - (0*3 - 0*0)j + (0*0 - 0*4)k = 12i - 0j + 0k = (12, 0, 0)

2. Плоскость DCC1D1:

Эта плоскость определяется векторами DC и DD1:

• DC = C - D = (24 - 0, 4 - 4, 0 - 0) = (24, 0, 0)
• DD1 = D1 - D = (0 - 0, 4 - 4, 3 - 0) = (0, 0, 3)

Теперь найдем векторное произведение DC и DD1:

• n2 = DC x DD1 = |i j k|
• |24 0 0|
• |0 0 3|

Вычисляем детерминант:

• n2 = (0*3 - 0*0)i - (0*3 - 0*24)j + (24*0 - 0*0)k = 0i - 0j + 0k = (0, 72, 0)

Теперь у нас есть два вектора: DE = (12, -4, 0), n1 = (12, 0, 0) и n2 = (0, 72, 0).

Теперь найдем косинус угла между вектором DE и нормалями:

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - их длины.

1. Для плоскости BCC1B1:

• Скалярное произведение DE и n1: DE · n1 = (12 * 12) + (-4 * 0) + (0 * 0) = 144
• Длина DE: |DE| = √(12² + (-4)² + 0²) = √(144 + 16) = √160 = 4√10
• Длина n1: |n1| = √(12² + 0² + 0²) = 12
• cos(θ) = 144 / (4√10 * 12) = 3 / √10

2. Для плоскости DCC1D1:

• Скалярное произведение DE и n2: DE · n2 = (12 * 0) + (-4 * 72) + (0 * 0) = -288
• Длина n2: |n2| = √(0² + 72² + 0²) = 72
• cos(θ) = -288 / (4√10 * 72) = -3 / √10

Таким образом, мы получили косинусы углов:

• Косинус угла между DE и плоскостью BCC1B1: 3 / √10
• Косинус угла между DE и плоскостью DCC1D1: -3 / √10