В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, у которой все ребра равны 1, какой косинус угла образуется между прямой AB и плоскостью SBC?

Геометрия 11 класс Косинус угла между прямой и плоскостью правильная четырехугольная пирамида косинус угла прямая AB плоскость SBC геометрия 11 класс

Косинус угла между прямой AB и плоскостью SBC равен:

0.5

Для начала, давайте разберемся с геометрией правильной четырехугольной пирамиды SABCD. В этой пирамиде:

• S - вершина пирамиды,
• A, B, C, D - вершины основания, которое является квадратом.

Все ребра пирамиды равны 1, что означает, что длина всех сторон квадрата ABCD равна 1, а также длина отрезков SA, SB, SC и SD тоже равна 1.

Теперь для нахождения косинуса угла между прямой AB и плоскостью SBC, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти векторы AB и нормальный вектор плоскости SBC.
2. Использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами.

1. Находим вектор AB:

Вектор AB можно записать как:

AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).

2. Находим нормальный вектор плоскости SBC:

Для этого нам нужно определить два вектора, лежащие в плоскости SBC. Эти векторы можно взять как:

• Вектор SB = B - S = (1, 0, 0) - (0.5, 0.5, h), где h - высота пирамиды.
• Вектор SC = C - S = (1, 1, 0) - (0.5, 0.5, h).

Сначала найдем координаты точки S. Высота h для правильной четырехугольной пирамиды может быть найдена через теорему Пифагора:

h = sqrt(1^2 - (0.5)^2 - (0.5)^2) = sqrt(1 - 0.25 - 0.25) = sqrt(0.5) = 1/sqrt(2).

Таким образом, координаты вершины S равны (0.5, 0.5, 1/sqrt(2)). Теперь подставим это значение в векторы:

SB = (1, 0, 0) - (0.5, 0.5, 1/sqrt(2)) = (0.5, -0.5, -1/sqrt(2)),

SC = (1, 1, 0) - (0.5, 0.5, 1/sqrt(2)) = (0.5, 0.5, -1/sqrt(2)).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости SBC, используя векторное произведение векторов SB и SC:

SB x SC = |i j k|

|0.5 -0.5 -1/sqrt(2>|

|0.5 0.5 -1/sqrt(2>|

Вычисляем детерминант:

i(0.5 * (-1/sqrt(2)) - (-0.5) * (-1/sqrt(2))) - j(0.5 * (-1/sqrt(2)) - (0.5) * (-1/sqrt(2))) + k(0.5 * 0.5 - (-0.5) * 0.5).

После упрощения получаем нормальный вектор N.

3. Находим косинус угла между векторами AB и N:

Косинус угла между векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB * N) / (|AB| * |N|).

После подстановки всех значений и вычислений мы получим значение косинуса угла между прямой AB и плоскостью SBC.

Таким образом, ответ на задачу - это косинус угла, который мы нашли в процессе. В результате вычислений мы получим:

cos(θ) = 1/sqrt(3).

Таким образом, косинус угла между прямой AB и плоскостью SBC равен 1/sqrt(3).