В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Как можно найти площадь параллелограмма ABCD? Помогите, пожалуйста!)

Геометрия 11 класс Параллелограммы и их свойства параллелограмм ABCD диагональ AC точка O центр окружности вписанная окружность треугольник ABC расстояние от точки O площадь параллелограмма геометрия 11 класс задачи по геометрии формулы площади свойства параллелограмма решение задач математические методы Новый

Давайте разберемся, как найти площадь параллелограмма ABCD, используя данные о треугольнике ABC.

1) Начнем с того, что у нас есть радиус вписанной окружности r, который равен 7. Это расстояние от точки O до стороны AC.

2) Далее, согласно условиям, расстояния от точки O до прямых AD и AC равны 8 и 7 соответственно. Чтобы найти высоту параллелограмма, нам нужно сложить эти два расстояния. Таким образом, высота h будет равна:

• h = 7 (расстояние до AC) + 8 (расстояние до AD) = 15.

Это и есть высота параллелограмма ABCD, которая также является высотой треугольника ABC к стороне BC.

3) Теперь обозначим точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника ABC: K для AB, L для BC и M для AC. Мы знаем, что расстояние от точки A до точки касания K на стороне AB равно AK = AM, и это равно 24 (это следует из свойства Пифагорового треугольника, где у нас есть катет 7 и гипотенуза 25).

4) Полупериметр p треугольника ABC можно выразить следующим образом:

• p = AK + BL + CL = 24 + BC.

5) Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABC двумя способами:

• Первый способ через полупериметр и радиус: S = p * r = 7 * (24 + BC).
• Второй способ через высоту и основание: S = (h * BC) / 2 = (15 * BC) / 2.

6) Теперь мы можем приравнять оба выражения для площади:

• 7 * (24 + BC) = (15 * BC) / 2.

7) Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

• 14 * (24 + BC) = 15 * BC.

8) Раскроем скобки и упростим уравнение:

• 336 + 14 * BC = 15 * BC.

9) Переносим все слагаемые с BC в одну сторону:

• 336 = 15 * BC - 14 * BC,
• 336 = BC.

Таким образом, мы нашли, что длина стороны BC равна 336.

10) Теперь, зная высоту h = 15 и основание BC = 336, можем найти площадь параллелограмма ABCD:

• S = h * BC = 15 * 336 = 5040.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 5040 квадратных единиц.