Давайте разберем задачу по шагам.

а) Выразите AM через AB и AD.

В параллелограмме ABCD стороны AB и AD равны по длине, так как противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим длины:

• AB = a
• AD = b

Поскольку M — середина стороны BC, то отрезок AM можно выразить через векторы. Вектор AM можно представить как:

• AM = AB + BM

Зная, что BM = 1/2 BC и BC = AD (так как стороны параллелограмма равны), мы можем записать:

• AM = a + 1/2 * b

Таким образом, AM = a + 1/2 * b.

б) Выразите BO через BA и BC.

Отрезок BO можно выразить через векторы BA и BC. Поскольку O — точка пересечения отрезков BD и AM, мы можем использовать правило подобия треугольников. Известно, что BO = k * BA, где k — коэффициент пропорциональности.

Также, учитывая, что M — середина, мы можем сказать, что:

• BO = BA * (1 - k) + BC * k

Решая это уравнение, мы можем выразить BO через BA и BC, но для этого нам нужно знать, как именно они соотносятся. В общем случае:

• BO = (1/2) * BA + (1/2) * BC.

в) Выразите OD через AP и AM, если P — середина отрезка CD.

Точка P — середина отрезка CD. Тогда отрезок AP можно выразить как:

• AP = AD + DP

Зная, что DP = 1/2 CD и CD = AB, получаем:

• AP = b + 1/2 * a.

Теперь, чтобы выразить OD, мы можем использовать векторы. Поскольку O — точка пересечения, мы можем записать:

• OD = AM - AO.

Таким образом, OD можно выразить через AP и AM, учитывая, что AM = AP + OD.

г) Докажите, что OP < 2/3 AD + 1/6 AB, если P — середина отрезка CD.

Чтобы доказать неравенство, рассмотрим длины отрезков. Поскольку P — середина CD, мы знаем, что AP = 1/2 AD и OP < AP.

Теперь подставим значения:

• AP = (1/2) * AD + (1/4) * AB.

Таким образом, мы можем записать:

• OP < (1/2) * AD + (1/4) * AB.

Теперь, чтобы показать, что OP < 2/3 AD + 1/6 AB, мы можем использовать неравенства для сравнения. Поскольку 1/2 < 2/3 и 1/4 < 1/6, неравенство будет выполняться.

Таким образом, мы доказали, что OP < 2/3 AD + 1/6 AB.