Рассмотрим правильный тетраэдр MABC. Для простоты положим длину ребра равной 1 и введём декартову систему координат.

1. Разместим основание ABC в плоскости z = 0 так, чтобы ABC было равносторонним треугольником со стороной 1:
   • A = (0, 0, 0)
   • B = (1, 0, 0)
   • C = (1/2, sqrt(3)/2, 0)
2. В правильном тетраэдре вершина M проецируется на центр тяжести (центроид) треугольника ABC. Центроид G равностороннего треугольника со стороной 1 имеет координаты G = (1/2, sqrt(3)/6, 0). Пусть M = (1/2, sqrt(3)/6, h). Так как MA = 1 и GA = sqrt(3)/3, то h^2 = 1 - (sqrt(3)/3)^2 = 1 - 1/3 = 2/3, откуда h = sqrt(2/3). Значит
   • M = (1/2, sqrt(3)/6, sqrt(2/3))
3. Точка D — середина ребра CM, поэтому
   • D = ((C_x + M_x)/2, (C_y + M_y)/2, (C_z + M_z)/2) = (1/2, sqrt(3)/3, sqrt(2/3)/2).
4. Найдём векторы направлений прямых BC и AD:
   • BC = C - B = (-1/2, sqrt(3)/2, 0)
   • AD = D - A = (1/2, sqrt(3)/3, sqrt(2/3)/2)
5. Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
   • BC · AD = (-1/2)*(1/2) + (sqrt(3)/2)*(sqrt(3)/3) + 0 = -1/4 + 1/2 = 1/4.
   • |BC| = sqrt[(-1/2)^2 + (sqrt(3)/2)^2] = sqrt(1) = 1 (что ожидаемо, так как BC — ребро).
   • |AD| = sqrt[(1/2)^2 + (sqrt(3)/3)^2 + (sqrt(2/3)/2)^2] = sqrt(1/4 + 1/3 + 1/6) = sqrt(3/4) = sqrt(3)/2.
6. Косинус искомого угла θ между прямыми BC и AD:
   • cos θ = (BC · AD) / (|BC| |AD|) = (1/4) / (1 * sqrt(3)/2) = 1/(2 sqrt(3)) = sqrt(3)/6.

Ответ: угол между прямыми BC и AD имеет косинус sqrt(3)/6, т.е. θ = arccos(sqrt(3)/6) ≈ 73.2°.