В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной в точке S точка O — это точка пересечения диагоналей основания. Длина отрезка AB равна 6, а длина отрезка SD равна корень из 67. а) Как можно найти объем этой пирамиды? б) Как определить площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точки A, S и C?

Геометрия 11 класс Объем и сечения пирамид объём правильной четырёхугольной пирамиды площадь сечения пирамиды точка пересечения диагоналей длина отрезка AB длина отрезка SD Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

а) Как можно найти объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD?

Объем V пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S_основания * h,

где S_основания — площадь основания пирамиды, а h — высота пирамиды.

• 1. Сначала найдем площадь основания. Основание пирамиды — это квадрат ABCD. Длина стороны квадрата равна длине отрезка AB, которая равна 6.
• 2. Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a^2, где a — длина стороны квадрата. В нашем случае:
• S_основания = 6^2 = 36.
• 3. Теперь найдем высоту пирамиды. Так как S — вершина пирамиды, а O — центр квадрата ABCD, то высота h равна длине отрезка SO.
• 4. Чтобы найти SO, воспользуемся теоремой Пифагора. Сначала найдем длину отрезка AO (это половина диагонали квадрата). Длина диагонали квадрата рассчитывается по формуле d = a√2, где a — длина стороны квадрата:
• d = 6√2,
• поэтому AO = (6√2)/2 = 3√2.
• 5. Теперь можем найти SO, используя теорему Пифагора:
• SO = √(SD^2 - AO^2) = √(67 - (3√2)^2) = √(67 - 18) = √49 = 7.
• 6. Теперь подставим значения в формулу объема:
• V = (1/3) * 36 * 7 = 84.

Таким образом, объем пирамиды SABCD равен 84.

б) Как определить площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точки A, S и C?

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, S и C, будет треугольником ASC.

• 1. Для нахождения площади треугольника ASC, воспользуемся формулой:
• S = (1/2) * основание * высота.
• 2. В данном случае основание AC — это диагональ квадрата ABCD. Мы уже знаем, что длина AC равна:
• AC = 6√2.
• 3. Теперь нужно найти высоту треугольника ASC. Высота будет равна длине отрезка SO, который мы уже нашли и равен 7.
• 4. Теперь подставим значения в формулу площади:
• S = (1/2) * (6√2) * 7 = 21√2.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, S и C, равна 21√2.