В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной в точке S, точка O является точкой пересечения диагоналей основания. Длина стороны AB равна 6, а длина отрезка SD равна корню из 67. а) Каков объем этой пирамиды? б) Какова площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, S и C?

Геометрия 11 класс Объем и сечения пирамид правильная четырехугольная пирамида объём пирамиды площадь сечения диагонали основания длина стороны точка пересечения геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи о правильной четырехугольной пирамиде SABCD начнем с определения необходимых параметров и формул.

a) Объем пирамиды

Объем V правильной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * Sб * h,

где Sб - площадь основания, h - высота пирамиды.

• Основание пирамиды - квадрат ABCD со стороной AB = 6. Площадь основания Sб будет равна:
• Sб = AB * AB = 6 * 6 = 36.

Теперь найдем высоту пирамиды h. В правильной четырехугольной пирамиде высота h - это перпендикуляр от вершины S до плоскости основания ABCD.

• Точка O - это центр квадрата ABCD. Поскольку квадрат симметричен, координаты точки O будут:
• O = (3, 3, 0) (если считать A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(6, 6, 0), D(0, 6, 0)).
• Теперь у нас есть длина отрезка SD = √67. Это расстояние от точки S до точки D.
• Координаты точки D = (0, 6, 0) и S = (3, 3, h).
• Найдем h, используя теорему Пифагора:
• SD^2 = (3 - 0)^2 + (3 - 6)^2 + (h - 0)^2.
• √67^2 = 3^2 + (-3)^2 + h^2.
• 67 = 9 + 9 + h^2.
• 67 = 18 + h^2.
• h^2 = 67 - 18 = 49.
• h = √49 = 7.

Теперь подставим значения в формулу для объема:

V = (1/3) * 36 * 7 = 84.

Ответ: Объем пирамиды равен 84 кубических единиц.

b) Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, S и C

Плоскость, проходящая через точки A, S и C, образует треугольник ASC. Чтобы найти площадь этого треугольника, воспользуемся формулой:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

• Отрезок AC является основанием треугольника. Найдем его длину:
• AC = √((6 - 0)^2 + (6 - 0)^2) = √(36 + 36) = √72 = 6√2.
• Теперь найдем высоту треугольника, которая будет равна расстоянию от точки S до прямой AC.

Для нахождения высоты используем формулу для расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2),

где A, B, C - коэффициенты уравнения прямой, а (x, y) - координаты точки S.

• Уравнение прямой AC можно найти, используя координаты A(0, 0) и C(6, 6):
• y = x (коэффициенты A = 1, B = -1, C = 0).
• Теперь подставим координаты точки S(3, 3, 7):
• d = |1*3 - 1*3 + 0| / √(1^2 + (-1)^2) = |0| / √2 = 0.

Поскольку S лежит на прямой AC, высота от S до AC равна 7 (это z-координата точки S, так как основание находится на z=0).

Теперь подставим значения в формулу для площади:

Площадь = (1/2) * (6√2) * 7 = 21√2.

Ответ: Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, S и C, равна 21√2 квадратных единиц.