В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 4√2, а боковое ребро равно 4. Точка L - это середина ребра CC1. Каково расстояние от точки L до плоскости DA1C1?

Геометрия 11 класс Расстояние от точки до плоскости геометрия 11 класс правильная четырехугольная призма расстояние до плоскости середина ребра задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с описания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1. У нас есть основание ABCD, которое является квадратом со стороной 4√2, и боковые ребра A1B1, C1D1 и т.д., которые равны 4.

1. **Найдем координаты вершин призмы.**

• Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
• Тогда точки B, C и D будут:
  • B(4√2, 0, 0),
  • C(4√2, 4√2, 0),
  • D(0, 4√2, 0).
• Теперь добавим верхние вершины:
  • A1(0, 0, 4),
  • B1(4√2, 0, 4),
  • C1(4√2, 4√2, 4),
  • D1(0, 4√2, 4).

2. **Определим координаты точки L.**

Точка L - это середина ребра CC1. Поскольку C(4√2, 4√2, 0) и C1(4√2, 4√2, 4), то координаты точки L будут:

• L(4√2, 4√2, 2).

3. **Найдем уравнение плоскости DA1C1.**

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки D, A1 и C1, мы можем использовать векторное уравнение. Сначала найдем векторы:

• Вектор DA1: A1 - D = (0, 0, 4) - (0, 4√2, 0) = (0, -4√2, 4),
• Вектор DC1: C1 - D = (4√2, 4√2, 4) - (0, 4√2, 0) = (4√2, 0, 4).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, взяв векторное произведение векторов DA1 и DC1:

• n = DA1 x DC1.

Вычислим это произведение:

• n = |i j k|
• |0 -4√2 4|
• |4√2 0 4|

Результат будет:

• n = (16√2, 16√2, 8√2).

4. **Запишем уравнение плоскости.**

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B и C - координаты нормального вектора, а D можно найти, подставив координаты одной из точек (например, D):

• 16√2 * 0 + 16√2 * 4√2 + 8√2 * 0 + D = 0,
• D = -64.

Таким образом, уравнение плоскости DA1C1:

16√2 * x + 16√2 * y + 8√2 * z - 64 = 0.

5. **Найдем расстояние от точки L до плоскости.**

Расстояние от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 рассчитывается по формуле:

distance = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Подставим координаты точки L(4√2, 4√2, 2) в уравнение:

• A = 16√2, B = 16√2, C = 8√2, D = -64.

Расстояние будет равно:

• distance = |16√2 * 4√2 + 16√2 * 4√2 + 8√2 * 2 - 64| / sqrt((16√2)^2 + (16√2)^2 + (8√2)^2).

Вычисляем:

• distance = |128 + 128 + 16 - 64| / sqrt(512 + 512 + 128) = |208| / sqrt(1152).

Теперь упростим:

• distance = 208 / 32√3 = 13 / 2√3.

Таким образом, расстояние от точки L до плоскости DA1C1 равно 13 / 2√3.