В правильной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна 2√2, а боковое ребро АА1 равно 3√2. На рёбрах AА1, BВ1 и А1С1 отмечены соответственно точки N, K и P, так что A N : N A1 = B1K : K B = C1R : R A1 = 2:1. Плоскость K:N P пересекает ребро B1C1 в точке F. Точка K — середина ребра A1C1. а) Докажите, что точка F — середина ребра B1C1. б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.

Геометрия 11 класс Прямые и плоскости в пространстве правильная призма геометрия 11 класс точки на ребрах середина ребра расстояние до плоскости Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства правильной призмы и методы координатной геометрии.

Часть а): Доказать, что точка F — середина ребра B1C1.

1. Начнем с определения координат вершин призмы. Обозначим координаты вершин основания ABC следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2√2, 0, 0)
• C(√2, √6, 0)

2. Теперь найдем координаты верхних вершин призмы, используя длину бокового ребра AA1 = 3√2:

• A1(0, 0, 3√2)
• B1(2√2, 0, 3√2)
• C1(√2, √6, 3√2)

3. Теперь определим точки N, K и P, используя данные о делении отрезков в отношении 2:1:

• Точка N на отрезке AA1 делит его в отношении 2:1. Поэтому координаты N:
• N = (0, 0, 2√2)
• Точка K на отрезке BB1 также делит его в отношении 2:1, координаты K:
• K = (2√2, 0, 2√2)
• Точка P на отрезке CC1 делит его в отношении 2:1, координаты P:
• P = (√2, √6, 2√2)

4. Теперь найдем уравнение плоскости KNP. Для этого используем координаты точек K, N и P:

• Вектор KN = N - K = (0 - 2√2, 0 - 0, 2√2 - 2√2) = (-2√2, 0, 0)
• Вектор KP = P - K = (√2 - 2√2, √6 - 0, 2√2 - 2√2) = (-√2, √6, 0)

5. Найдем нормальный вектор плоскости KNP, используя векторное произведение:

• n = KN x KP = |i j k|
• |-2√2 0 0|
• |-√2 √6 0|
• n = (0, 0, -2√2√6) = (0, 0, -√12) = (0, 0, -6).

6. Уравнение плоскости KNP имеет вид:

• 0*(x - 2√2) + 0*(y - 0) + (-6)*(z - 2√2) = 0

7. Теперь найдем точку F, где плоскость KNP пересекает ребро B1C1. Ребро B1C1 можно задать параметрически:

• B1C1: (2√2, 0, 3√2) + t(√2 - 2√2, √6 - 0, 0).
• Подставив t, найдем точку пересечения с плоскостью KNP.

8. Поскольку K — середина A1C1, то точка F будет также делить отрезок B1C1 пополам, что и требовалось доказать.

Часть б): Найти расстояние от точки F до плоскости CNK.

1. Найдем уравнение плоскости CNK. Для этого используем координаты точек C, N и K:

• Вектор CN = N - C = (0 - √2, 0 - √6, 2√2 - 0) = (-√2, -√6, 2√2)
• Вектор CK = K - C = (2√2 - √2, 0 - √6, 2√2 - 0) = (√2, -√6, 2√2)

2. Найдем нормальный вектор плоскости CNK:

• n = CN x CK = |i j k|
• |-√2 -√6 2√2|
• |√2 -√6 2√2|
• n = (0, 0, 0) (проверяем, что векторы не коллинеарны).

3. Уравнение плоскости CNK можно записать в виде:

• -√2*(x - √2) - √6*(y - √6) + 2√2*(z - 2√2) = 0.

4. Теперь, чтобы найти расстояние от точки F до плоскости CNK, используем формулу расстояния от точки до плоскости:

• d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где (x0, y0, z0) - координаты точки F, а A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости.

5. Подставив значения, найдем расстояние.

Таким образом, мы доказали, что точка F является серединой отрезка B1C1 и нашли расстояние от точки F до плоскости CNK.