В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, где все ребра равны 5, какой угол образуют прямые FA и D1E1? Ответ укажите в градусах.

Геометрия 11 класс Углы между прямыми в пространстве правильная шестиугольная призма угол между прямыми геометрия 11 класс рёбра равны 5 задача по геометрии Новый

Чтобы найти угол между прямыми FA и D1E1 в правильной шестиугольной призме, давайте сначала определим координаты точек, которые нам понадобятся для решения задачи.

Правильная шестиугольная призма состоит из двух оснований, которые являются правильными шестиугольниками, и шести вертикальных ребер. Если мы расположим призму в трехмерной системе координат, то можно задать координаты вершин следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(5, 0, 0)
• C(7.5, 4.33, 0)
• D(5, 8.66, 0)
• E(0, 8.66, 0)
• F(-2.5, 4.33, 0)
• A1(0, 0, 5)
• B1(5, 0, 5)
• C1(7.5, 4.33, 5)
• D1(5, 8.66, 5)
• E1(0, 8.66, 5)
• F1(-2.5, 4.33, 5)

Теперь мы можем определить векторы, соответствующие прямым FA и D1E1:

• Вектор FA: F - A = (-2.5 - 0, 4.33 - 0, 0 - 0) = (-2.5, 4.33, 0)
• Вектор D1E1: E1 - D1 = (0 - 5, 8.66 - 5, 5 - 5) = (-5, 3.66, 0)

Теперь мы можем использовать скалярное произведение для нахождения угла между двумя векторами. Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется по формуле:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

Где |a| и |b| - длины векторов, а θ - угол между ними. Сначала вычислим длины векторов FA и D1E1:

• |FA| = sqrt((-2.5)² + (4.33)² + 0²) = sqrt(6.25 + 18.7489) = sqrt(25) = 5
• |D1E1| = sqrt((-5)² + (3.66)² + 0²) = sqrt(25 + 13.3956) = sqrt(38.3956) ≈ 6.2

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

a · b = (-2.5) * (-5) + (4.33) * (3.66) + 0 * 0 = 12.5 + 15.868 = 28.368

Теперь подставим все значения в формулу скалярного произведения:

28.368 = 5 * 6.2 * cos(θ)

Теперь найдем cos(θ):

cos(θ) = 28.368 / (5 * 6.2) = 28.368 / 31 = 0.914

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(0.914) ≈ 23.1 градусов.

Таким образом, угол между прямыми FA и D1E1 составляет примерно 23.1 градуса.