В правильной треугольной пирамиде угол между апофемами равен 60°. Как можно вычислить площадь полной поверхности этой пирамиды, если длина стороны основания составляет 4 см?

Геометрия 11 класс Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида угол между апофемами площадь полной поверхности длина стороны основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и площадь боковых граней. Мы начнем с вычисления площади основания, а затем перейдем к боковым граням.

Шаг 1: Вычисление площади основания

Основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае a = 4 см. Подставляем значение:

Площадь = (4^2 * √3) / 4 = (16 * √3) / 4 = 4√3 см².

Шаг 2: Вычисление высоты боковой грани

Теперь нам нужно найти высоту боковой грани. У нас есть угол между апофемами, равный 60°. Это значит, что мы можем использовать свойства равностороннего треугольника.

Апофема (h) правильной треугольной пирамиды образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой пирамиды. Половина стороны основания равна:

4 см / 2 = 2 см.

В этом прямоугольном треугольнике угол между апофемами равен 60°, а значит, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты.

С учетом угла 60° и половины стороны основания, высота (h) будет равна:

h = 2 * √3 см.

Шаг 3: Вычисление площади боковых граней

Площадь боковой грани представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания (4 см), а высота - это найденная высота (h = 2√3 см).

Площадь одной боковой грани можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Подставляем значения:

Площадь = (1/2) * 4 * 2√3 = 4√3 см².

Так как у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

Общая площадь боковых граней = 3 * 4√3 = 12√3 см².

Шаг 4: Вычисление полной площади поверхности

Теперь мы можем вычислить полную площадь поверхности пирамиды:

Полная площадь = площадь основания + площадь боковых граней.

Полная площадь = 4√3 + 12√3 = 16√3 см².

Ответ: Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет 16√3 см².