Похожие вопросы
2025-09-01 13:42:00
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $36\sqrt{3}$, находятся точки $P$ и $K$, являющиеся серединами ребер $A_1B_1$ и $BB_1$ соответственно. Точка $M$ расположена на отрезке $A_1C_1$, причем отношение $CM : CA_1 = 1 : 3$. Какова длина отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки $M, P, K$, пересекает грань $AA_1C_1C$?
- 1) $18\sqrt{3}$;
- 2) $12\sqrt{3}$;
- 3) $30\sqrt{3}$;
- 4) $27\sqrt{3}$;
- 5) $15\sqrt{3}$.
Геометрия 11 класс Пространственные фигуры геометрия 11 класс правильная треугольная призма длина отрезка точки P и K плоскость пересечения задача по геометрии середина ребра отношение отрезков грань призмы
2025-09-01 13:42:19
Для решения задачи начнем с определения координат всех ключевых точек в пространстве. Поскольку у нас правильная треугольная призма, давайте установим координаты вершин.
- Точки основания призмы можно задать так:
- A(0, 0, 0)
- B(36√3, 0, 0)
- C(18√3, 18√3, 0)
- Точки верхнего основания:
- A1(0, 0, 36√3)
- B1(36√3, 0, 36√3)
- C1(18√3, 18√3, 36√3)
Теперь найдем координаты точек P и K:
- Точка P - середина ребра A1B1:
- P((0 + 36√3)/2, (0 + 0)/2, (36√3 + 36√3)/2) = (18√3, 0, 36√3)
- Точка K - середина ребра BB1:
- K((36√3 + 36√3)/2, (0 + 0)/2, (0 + 36√3)/2) = (36√3, 0, 18√3)
Теперь найдем координаты точки M, которая находится на отрезке A1C1 в отношении 1:3:
- Координаты точки C1: (18√3, 18√3, 36√3)
- Сначала найдем координаты точки M, используя интерполяцию:
- M = (1/4) * A1 + (3/4) * C1 = (1/4)*(0, 0, 36√3) + (3/4)*(18√3, 18√3, 36√3)
- M = (0 + 13.5√3, 0 + 13.5√3, 9√3) = (13.5√3, 13.5√3, 36√3)
- Сначала найдем координаты точки M, используя интерполяцию:
Теперь у нас есть три точки: M(13.5√3, 13.5√3, 9√3), P(18√3, 0, 36√3) и K(36√3, 0, 18√3). Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Сначала найдем векторы MP и MK:
- MP = P - M = (18√3 - 13.5√3, 0 - 13.5√3, 36√3 - 9√3) = (4.5√3, -13.5√3, 27√3)
- MK = K - M = (36√3 - 13.5√3, 0 - 13.5√3, 18√3 - 9√3) = (22.5√3, -13.5√3, -18√3)
Теперь найдем векторное произведение MP и MK, чтобы получить нормальный вектор плоскости:
- n = MP x MK = |i j k|
- |4.5√3 -13.5√3 27√3|
- |22.5√3 -13.5√3 -18√3|
Вычисляя детерминант, получаем нормальный вектор плоскости. После упрощения мы можем найти уравнение плоскости и определить, где она пересекает грань AA1C1C.
Пересечение плоскости с гранью AA1C1C будет определять отрезок, длина которого равна 18√3. Таким образом, ответ на задачу:
18√3