В прямоугольнике ABCD стороны AD и BC равны 5, а острый угол между диагоналями равен угол(AOB)=arcsin(40/41), где O - точка пересечения диагоналей. Точка K находится на стороне BC, и отношение отрезков BK и KC равно 2:3. Точка L находится на стороне CD, и отношение отрезков CL и CD равно 2:3.

а) Как можно вычислить 2AK - LB? (где AK и LB - векторы)

б) Какой угол образуют лучи BL и AK?

Геометрия 11 класс Векторы и их применение в геометрии геометрия 11 класс прямоугольник ABCD диагонали прямоугольника векторы AK и LB угол между векторами отношение отрезков вычисление векторов угол AOB точка пересечения диагоналей задача по геометрии Новый

Давайте подробно разберем задачу, чтобы найти необходимые значения.

Часть а)

Для начала, определим координаты точек прямоугольника ABCD. Пусть:

• A(0, 0)
• B(5, 0)
• C(5, 5)
• D(0, 5)

Теперь найдем точку K на стороне BC. По условию, отношение отрезков BK и KC равно 2:3. Это значит, что мы можем поделить сторону BC на 5 равных частей (2+3=5). Таким образом, длина отрезка BK будет составлять:

BK = (2/5) * 5 = 2

Следовательно, координаты точки K будут:

• K(5, 2)

Теперь найдем точку L на стороне CD. Отношение отрезков CL и LD также равно 2:3. Таким образом, длина отрезка CL будет составлять:

CL = (2/5) * 5 = 2

Следовательно, координаты точки L будут:

• L(3, 5)

Теперь найдем векторы AK и LB:

• AK = K - A = (5 - 0, 2 - 0) = (5, 2)
• LB = B - L = (5 - 3, 0 - 5) = (2, -5)

Теперь найдем 2AK - LB:

• 2AK = 2 * (5, 2) = (10, 4)
• 2AK - LB = (10, 4) - (2, -5) = (10 - 2, 4 + 5) = (8, 9)

Таким образом, 2AK - LB = (8, 9).

Часть б)

Теперь определим угол между лучами BL и AK. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A и B - векторы, θ - угол между ними, "·" - скалярное произведение, а |A| и |B| - длины векторов.

Векторы у нас следующие:

• AK = (5, 2)
• BL = (3, 5)
(так как B(5,0) и L(3,5), то BL = L - B = (3 - 5, 5 - 0) = (-2, 5))

Теперь найдем скалярное произведение:

• A · B = (5 * -2) + (2 * 5) = -10 + 10 = 0

Теперь найдем длины векторов:

• |AK| = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29
• |BL| = √((-2)² + 5²) = √(4 + 25) = √29

Теперь подставим все в формулу:

• cos(θ) = 0 / (√29 * √29) = 0

Это означает, что угол θ равен 90 градусов, так как косинус 90 градусов равен 0.

Ответы:

• а) 2AK - LB = (8, 9)
• б) Угол между лучами BL и AK равен 90 градусов.