В равностороннем треугольнике FBH известна медиана BD и длина стороны FH, равная 4. Как можно вычислить скалярное произведение векторов BD и BF?

Геометрия 11 класс Скалярное произведение векторов в геометрии равносторонний треугольник медиана BD длина стороны FH скалярное произведение векторы BD и BF геометрия 11 класс Новый

Для вычисления скалярного произведения векторов BD и BF в равностороннем треугольнике FBH, необходимо воспользоваться некоторыми свойствами геометрии и векторов. Рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом процессе.

1. Определение векторов:

   Сначала обозначим векторы:

   • Вектор BD - медиана, которая соединяет вершину B с серединой стороны FH.
   • Вектор BF - вектор, соединяющий вершину B с вершиной F треугольника.
2. Определение координат точек:

   Предположим, что треугольник FBH расположен в координатной плоскости. Для простоты можно взять следующие координаты:

   • Точка F (0, 0)
   • Точка H (4, 0)
   • Точка B (2, 2√3), так как высота равностороннего треугольника равна (√3/2) * сторона, а сторона равна 4.
3. Нахождение координат точки D:

   Точка D является серединой отрезка FH. Таким образом, ее координаты можно найти следующим образом:

   • Координаты D: ((0 + 4)/2, (0 + 0)/2) = (2, 0).
4. Вычисление векторов:

   Теперь мы можем определить координаты векторов BD и BF:

   • Вектор BD = D - B = (2 - 2, 0 - 2√3) = (0, -2√3).
   • Вектор BF = F - B = (0 - 2, 0 - 2√3) = (-2, -2√3).
5. Вычисление скалярного произведения:

   Скалярное произведение векторов BD и BF вычисляется по формуле:

   BD · BF = (BD_x * BF_x) + (BD_y * BF_y).

   Подставим значения:

   • BD_x = 0, BD_y = -2√3
   • BF_x = -2, BF_y = -2√3

   Тогда:

   BD · BF = (0 * -2) + (-2√3 * -2√3) = 0 + 4 * 3 = 12.

Таким образом, скалярное произведение векторов BD и BF равно 12.