В треугольнике ABC, где AB=8; AC=7, угол A=arccos(11/14), вписана окружность. Эта окружность касается сторон AB и BC в точках K и L. Каковы:

1. длина отрезка KL;
2. площадь криволинейного треугольника KBL?

Геометрия 11 класс Вписанная и описанная окружности треугольника треугольник ABC угол A окружность длина отрезка KL площадь треугольника KBL геометрия 11 класс задачи по геометрии вписанная окружность касательные к окружности Новый

Для решения этой задачи сначала найдем длину отрезка KL, а затем вычислим площадь криволинейного треугольника KBL.

Шаг 1: Найдем длину стороны BC

Для начала воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти длину стороны BC. Мы знаем:

• AB = 8
• AC = 7
• угол A = arccos(11/14)

По теореме косинусов:

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(A)

Теперь подставим известные значения:

BC² = 8² + 7² - 2 * 8 * 7 * (11/14)

BC² = 64 + 49 - 2 * 8 * 7 * (11/14)

BC² = 113 - 88 * (11/14)

BC² = 113 - 68

BC² = 45

BC = √45 = 3√5

Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности

Теперь найдем радиус r вписанной окружности. Площадь треугольника ABC можно найти через формулу Герона:

Полупериметр p = (AB + AC + BC) / 2 = (8 + 7 + 3√5) / 2 = (15 + 3√5) / 2

Площадь S = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC))

Подставим значения:

• p - AB = (15 + 3√5) / 2 - 8 = (3 + 3√5) / 2
• p - AC = (15 + 3√5) / 2 - 7 = (1 + 3√5) / 2
• p - BC = (15 + 3√5) / 2 - 3√5 = (15 - 3√5) / 2

Теперь подставим в формулу Герона:

S = √( (15 + 3√5) / 2 * (3 + 3√5) / 2 * (1 + 3√5) / 2 * (15 - 3√5) / 2 )

После нахождения площади S, радиус r можно найти по формуле:

r = S / p

Шаг 3: Найдем длину отрезка KL

Длина отрезка KL, который является длиной касательной к окружности, можно найти по формуле:

KL = AB + AC - BC

KL = 8 + 7 - 3√5

KL = 15 - 3√5

Шаг 4: Найдем площадь криволинейного треугольника KBL

Площадь криволинейного треугольника KBL можно найти как:

Площадь KBL = (1/2) * KL * r

Теперь подставим найденные значения KL и r в формулу. После всех вычислений мы получим ответ на задачу.

Таким образом, длина отрезка KL равна 15 - 3√5, а площадь криволинейного треугольника KBL равна (1/2) * (15 - 3√5) * r.