В треугольнике ABC угол B составляет 120 градусов. Медиана BM делит угол B на две равные части. Длина отрезка AM равна 4/3. Какова длина отрезка AB?

Геометрия 11 класс Медианы и их свойства в треугольниках угол B треугольник ABC медиана BM длина отрезка AM длина отрезка AB геометрия 11 класс задачи по геометрии решение треугольников Новый

Чтобы найти длину отрезка AB в треугольнике ABC, где угол B равен 120 градусам, а медиана BM делит угол B на две равные части, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Понимание условий задачи:

• У нас есть треугольник ABC с углом B = 120°.
• Mediана BM делит угол B на две равные части, то есть угол ABM = 60° и угол CBM = 60°.
• Длина отрезка AM = 4/3.

2. Использование теоремы о медиане:

Медиана BM делит сторону AC на две равные части. Обозначим точку M как середину отрезка AC. Таким образом, AM = MC.

3. Применение тригонометрии:

В треугольнике ABM мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины AB:

4. Применяем теорему косинусов:

1. Согласно теореме косинусов, для треугольника ABM, где AM = 4/3, угол ABM = 60°:
2. Мы можем выразить AB через AM и угол ABM:
3. AB² = AM² + BM² - 2 * AM * BM * cos(60°).

5. Определение длины BM:

Мы можем найти BM, используя свойства медианы. В треугольнике ABC медиана BM делит сторону AC на две равные части, и так как M - середина, то BM можно выразить через стороны AB и AC, но для этого нам нужно знать длину AC.

6. Используем закон синусов:

Поскольку у нас есть угол B и длина AM, мы можем использовать закон синусов для нахождения других сторон:

• AB/sin(60°) = AC/sin(120°).

7. Подстановка значений:

Теперь мы можем выразить AB через AC и использовать известные значения углов:

• sin(60°) = √3/2, sin(120°) = √3/2.

8. Решение уравнения:

Поскольку AM = 4/3, и мы знаем, что M - середина, то AC = 2 * AM = 8/3.

Теперь подставим значения в закон синусов:

• AB/(√3/2) = (8/3)/(√3/2).

9. Находим длину AB:

Теперь решим это уравнение:

• AB = (8/3) * (√3/2) * (2/√3) = 8/3.

10. Ответ:

Таким образом, длина отрезка AB равна 8/3.