Чтобы найти длину стороны равностороннего треугольника ACD, в котором точка S находится на расстоянии 6 см от всех вершин и на расстоянии 3 см от плоскости треугольника, можно воспользоваться геометрическими свойствами равностороннего треугольника и пространственными соотношениями.

1. Понимание задачи:
   • Точка S расположена на расстоянии 6 см от каждой вершины треугольника.
   • Точка S находится на расстоянии 3 см от плоскости треугольника.
2. Построение пространственной модели:
   • Рассмотрим равносторонний треугольник ACD в плоскости.
   • Так как точка S равноудалена от всех вершин, она находится на оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр.
   • Назовем центр треугольника точкой O. Точка S находится на прямой, проходящей через O и перпендикулярной плоскости треугольника.
3. Использование пространственных соотношений:
   • Расстояние от точки S до плоскости треугольника равно 3 см. Это означает, что точка S находится на высоте 3 см от плоскости треугольника.
   • Расстояние от точки S до каждой вершины треугольника равно 6 см.
4. Вычисление длины стороны треугольника:
   • Рассмотрим треугольник OSB, где O - центр треугольника, S - точка в пространстве, и B - одна из вершин треугольника.
   • Треугольник OSB является прямоугольным, где OS - высота (3 см), а OB - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
   • По теореме Пифагора: SB^2 = OS^2 + OB^2. Подставим известные значения: 6^2 = 3^2 + OB^2.
   • Вычислим OB: 36 = 9 + OB^2, отсюда OB^2 = 27, OB = √27 = 3√3 см.
   • OB - это радиус описанной окружности. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности R связан с длиной стороны a формулой: R = a / √3.
   • Подставим значение OB в формулу: 3√3 = a / √3, отсюда a = 9 см.

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника ACD равна 9 см.