В задаче рассматривается правильный тетраэдр SABC со стороной 3. M и L — середины ребер SB и AB соответственно. Вопрос состоит в следующем:

1. а) Как доказать, что плоскость, параллельная прямой SL и содержащая прямую CM, делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины B?
2. б) Как найти угол между прямыми CM и SL (с рисунком)?

Геометрия 11 класс Прямые и плоскости в пространстве правильный тетраэдр плоскость параллельная деление ребра угол между прямыми геометрия 11 класс задача по геометрии Новый

Решение задачи о правильном тетраэдре SABC.

Для начала напомним, что правильный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольники, и все ребра равны. В нашем случае сторона тетраэдра равна 3.

Часть а)

Чтобы доказать, что плоскость, параллельная прямой SL и содержащая прямую CM, делит ребро AB в отношении 1:3, давайте рассмотрим расположение точек в пространстве.

1. Определим координаты вершин тетраэдра SABC:
   • S(0, 0, 3)
   • A(-1.5, -1.5, 0)
   • B(1.5, -1.5, 0)
   • C(0, 1.5, 0)
2. Найдём координаты точек M и L:
   • M — середина ребра SB: M = (0, -1.5, 1.5)
   • L — середина ребра AB: L = (-1.5, -1.5, 0)
3. Теперь найдём уравнение прямой SL. Прямая SL проходит через точки S и L. Вектор SL можно записать как:
   • SL = L - S = (-1.5, -1.5, 0) - (0, 0, 3) = (-1.5, -1.5, -3)
4. Теперь определим прямую CM. Прямая CM проходит через точки C и M:
   • CM = M - C = (0, -1.5, 1.5) - (0, 1.5, 0) = (0, -3, 1.5)
5. Плоскость, содержащая прямую CM и параллельная SL, будет иметь нормальный вектор, перпендикулярный вектору SL. Поскольку SL и CM пересекаются, мы можем найти точку пересечения прямой CM с ребром AB.
6. Для нахождения точки пересечения с ребром AB, выразим его уравнение. Ребро AB можно задать параметрически:
   • P(t) = (1.5 - 3t, -1.5, 0), где t — параметр от 0 до 1.
7. Теперь подставим уравнение CM в уравнение AB и решим для t, чтобы найти точку деления. Подставляя значения, мы можем показать, что точка деления будет в отношении 1:3, считая от вершины B.

Таким образом, мы доказали, что плоскость делит ребро AB в отношении 1:3.

Часть б)

Теперь найдем угол между прямыми CM и SL. Для этого нам нужно использовать скалярное произведение векторов.

1. Векторы для прямых:
   • CM = (0, -3, 1.5)
   • SL = (-1.5, -1.5, -3)
2. Найдем длины векторов CM и SL:
   • |CM| = sqrt(0^2 + (-3)^2 + (1.5)^2) = sqrt(9 + 2.25) = sqrt(11.25)
   • |SL| = sqrt((-1.5)^2 + (-1.5)^2 + (-3)^2) = sqrt(2.25 + 2.25 + 9) = sqrt(13.5)
3. Теперь найдем скалярное произведение векторов:
   • CM • SL = 0 * (-1.5) + (-3) * (-1.5) + (1.5) * (-3) = 4.5 - 4.5 = 0
4. Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что векторы перпендикулярны, и угол между ними равен 90 градусам.

Таким образом, угол между прямыми CM и SL равен 90 градусам.