В задании № 7 необходимо выяснить, как определить расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 в единичном кубе. Как можно это сделать?

Геометрия 11 класс Расстояние между прямыми в пространстве расстояние между прямыми прямые в кубе единичный куб геометрия 11 класс задачи по геометрии определение расстояния между прямыми Новый

Чтобы определить расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 в единичном кубе, необходимо следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим этот процесс подробно.

Шаг 1: Определение координат точек

Сначала определим координаты точек A, B, B1, C и C1 в единичном кубе. Предположим, что:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• B1(1, 1, 0)
• C(1, 1, 1)
• C1(0, 1, 1)

Шаг 2: Запись уравнений прямых

Теперь запишем уравнения прямых АВ1 и ВС1:

• Прямая АВ1 проходит через точки A и B1. Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:
• x = 0 + t(1 - 0) = t
• y = 0 + t(1 - 0) = t
• z = 0 + t(0 - 0) = 0
• Прямая ВС1 проходит через точки B и C1. Уравнение этой прямой также можно записать в параметрической форме:
• x = 1 + s(0 - 1) = 1 - s
• y = 1 + s(1 - 1) = 1
• z = 0 + s(1 - 0) = s

Шаг 3: Поиск расстояния между прямыми

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно использовать формулу:

Расстояние = |(AB1 × BC1) • (A - B)| / |AB1 × BC1|,

где AB1 и BC1 - векторы, направленные по прямым, а (A - B) - вектор, соединяющий точки A и B.

Шаг 4: Вычисление векторов

• Вектор AB1 = B1 - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)
• Вектор BC1 = C1 - B = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1)
• Вектор A - B = A - B = (0, 0, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 0)

Шаг 5: Вычисление векторного произведения

Теперь найдем векторное произведение AB1 × BC1:

• AB1 × BC1 = |i j k|
• |1 1 0|
• |-1 1 1|

Вычисляя определитель, получаем:

• i(1*1 - 0*1) - j(1*(-1) - 0*1) + k(1*1 - (-1)*1) = i(1) - j(-1) + k(2) = (1, 1, 2)

Шаг 6: Нахождение длины векторного произведения

Теперь найдем длину вектора AB1 × BC1:

|AB1 × BC1| = √(1^2 + 1^2 + 2^2) = √(1 + 1 + 4) = √6

Шаг 7: Подставляем в формулу расстояния

Теперь подставим все найденные значения в формулу для расстояния:

Расстояние = |(1, 1, 2) • (-1, 0, 0)| / √6

Скалярное произведение = 1*(-1) + 1*0 + 2*0 = -1

Расстояние = |-1| / √6 = 1 / √6

Таким образом, расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 в единичном кубе равно 1/√6.