Давайте разберём каждое утверждение по отдельности и определим, верно оно или нет, с объяснением.

1. Косинус острого угла больше косинуса тупого угла. - Да. Косинус острого угла (угол меньше 90 градусов) всегда положителен и больше, чем косинус тупого угла (угол больше 90 градусов),который отрицателен.
2. Существует угол, синус и косинус которого равны. - Да. Например, угол 45 градусов (или π/4 радиан) имеет синус и косинус, равные примерно 0.707.
3. Существует угол, синус и косинус которого равны нулю. - Нет. Угол, синус и косинус которого равны нулю, не существует, так как синус равен нулю только в точках 0, 180, 360 градусов и так далее, а косинус равен нулю в 90 и 270 градусах.
4. Косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу. - Да. В треугольнике могут быть углы, косинус которых отрицателен, например, в тупом угле.
5. Синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу. - Нет. Синус любого угла в треугольнике всегда положителен, так как углы треугольника лежат в диапазоне от 0 до 180 градусов.
6. Косинус угла треугольника может быть равным нулю. - Да. Это происходит в случае прямого угла (90 градусов).
7. Синус угла треугольника может быть равным нулю. - Да. Это возможно только в случае угла 0 или 180 градусов, но такие углы не могут быть углами треугольника, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
8. Косинус угла треугольника может быть равным -1. - Нет. Косинус равен -1 только для угла 180 градусов, который не является углом треугольника.
9. Синус угла треугольника может быть равным 1. - Нет. Синус равен 1 только для угла 90 градусов, что делает его прямым углом, но не может быть в треугольнике одновременно с другими углами.
10. Синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла. - Да. Прямой угол имеет синус равный 1, и все другие углы имеют синус меньше 1.
11. Косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого. - Да. Косинус развёрнутого угла равен -1, тогда как косинус любого острого или тупого угла больше -1.
12. Синусы смежных углов равны. - Да. Синус угла и синус его смежного угла равны, так как смежные углы дополняют друг друга до 180 градусов.
13. Косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами. - Да. Если один угол равен x, то его смежный угол равен 180 - x, и косинус этих углов действительно противоположны.
14. Если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы. - Нет. Это утверждение верно только для острых углов. В общем случае, например, косинусы углов 60 и 300 градусов равны, но углы не равны.
15. Если синусы двух углов равны, то равны и сами углы. - Нет. Синус может быть равен для углов, отличающихся на 180 градусов. Например, синусы 30 и 150 градусов равны, но углы не равны.
16. Тангенс острого угла больше тангенса тупого угла. - Да. Тангенс острого угла положителен и больше, чем тангенс тупого угла, который отрицателен.
17. Тангенс острого угла больше котангенса тупого угла. - Да. Тангенс острого угла положителен, а котангенс тупого угла отрицателен, поэтому первое больше второго.

Исходя из вышеизложенного, мы можем подвести итог по каждому утверждению.