Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC, вершины которого лежат на окружности. Мы знаем, что отношение сторон AB и BC равно 2:3. Это означает, что если мы обозначим длину стороны AB как 2x, то длина стороны BC будет равна 3x.

Теперь рассмотрим точку D, которая делит дугу AC пополам. Это значит, что угол ADB равен углу CDB, и следовательно, треугольник ABD подобен треугольнику CBD по углам.

Поскольку треугольники подобны, мы можем записать отношение их сторон:

• AB/BC = AD/DB

Подставляя известные значения, получим:

• (2x)/(3x) = AD/DB

Это упростится до:

• 2/3 = AD/DB

Теперь давайте перейдем к хорде KM. Из условия задачи мы знаем, что KE = 4 и ME = 6. Таким образом, длина хорды KM равна:

• KM = KE + ME = 4 + 6 = 10.

Следующий шаг – это использовать теорему о секущих и касательных. По этой теореме, если через точку E проведена хорда KM, то произведение отрезков, на которые хорда делит окружность, равно произведению отрезков от точки касания до концов хорды:

• AE * EC = KE * ME.

Мы знаем, что KE = 4 и ME = 6, следовательно:

• AE * EC = 4 * 6 = 24.

Теперь обозначим длину отрезка AC как L. Мы можем выразить AE и EC через L:

• AE = a,
• EC = L - a.

Подставим эти выражения в уравнение:

• a * (L - a) = 24.

Это уравнение можно решить для L, но для этого нам нужно знать, как AE и EC соотносятся между собой. Мы можем использовать отношение сторон AB и BC, чтобы выразить a через L. Если мы знаем, что AB = 2x и BC = 3x, и так как D делит дугу AC пополам, то можно предположить, что AE и EC также находятся в этом же отношении.

Таким образом, мы можем записать:

• AE : EC = 2 : 3.

Это значит, что:

• AE = (2/5)L,
• EC = (3/5)L.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

• ((2/5)L) * ((3/5)L) = 24.

Упростим это уравнение:

• (6/25)L^2 = 24.

Теперь умножим обе стороны на 25/6:

• L^2 = 24 * (25/6) = 100.

Теперь найдем L:

• L = √100 = 10.

Таким образом, длина отрезка AC равна: