Вопрос: Диаметр шара равен 4 т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Какова площадь сечения шара этой плоскостью?

Геометрия 11 класс Сечения фигур в пространстве геометрия 11 класс диаметр шара площадь сечения плоскость угол 30 градусов задача по геометрии сечение шара объем шара свойства шара Новый

Чтобы найти площадь сечения шара плоскостью, проведенной под углом 30° к диаметру, давайте разберемся с шагами решения этой задачи.

Шаг 1: Определение размеров шара

• Диаметр шара равен 4 м, следовательно, радиус (R) равен 2 м (половина диаметра).

Шаг 2: Построение модели сечения

• Обозначим середину диаметра шара как точку O, а концы диаметра как A и B. Таким образом, AB - это диаметр шара.
• Пусть плоскость сечения проходит через точку B и образует угол 30° с диаметром AB.

Шаг 3: Использование тригонометрии

• В этом случае, чтобы найти радиус круга, который образуется в результате сечения, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.
• Обозначим точку K как проекцию точки O на плоскость сечения. Тогда угол OBK равен 30°, а OB - это радиус шара, равный 2 м.

Шаг 4: Вычисление расстояния OK

• Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике OBK:
• OK = OB * sin(30°).
• Поскольку sin(30°) = 1/2, то OK = 2 * 1/2 = 1 м.

Шаг 5: Вычисление радиуса сечения

• Теперь мы можем найти радиус (r) круга сечения:
• r = sqrt(OB^2 - OK^2), где OB = 2 м и OK = 1 м.
• Подставляем значения: r = sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt(3) м.

Шаг 6: Нахождение площади круга сечения

• Площадь круга сечения (S) вычисляется по формуле S = π * r^2.
• Подставляя наш радиус, получаем: S = π * (sqrt(3))^2 = 3π м².

Ответ: Площадь сечения шара плоскостью, проведенной под углом 30° к диаметру, равна 3π м².