Вопрос: Треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным с прямым углом в C и гипотенузой 6 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника, а угол MCA равен 60 градусам. Какова длина отрезка MB?

Геометрия 11 класс Прямоугольные и равнобедренные треугольники треугольник ABC прямоугольный треугольник равнобедренный треугольник гипотенуза 6 см отрезок AM перпендикуляр угол MCA 60 градусов длина отрезка MB геометрия 11 класс задачи по геометрии свойства треугольников решение задач по геометрии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом в C и гипотенузой AB длиной 6 см. Поскольку треугольник равнобедренный, стороны AC и BC равны.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:

• AB² = AC² + BC²

Поскольку AC = BC, обозначим их длину как x. Тогда у нас будет:

• 6² = x² + x²
• 36 = 2x²
• x² = 18
• x = √18 = 3√2

Таким образом, длины сторон AC и BC равны 3√2 см.

Теперь, отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, а угол MCA равен 60 градусам. Рассмотрим треугольник CMA, который является прямоугольным.

В этом треугольнике мы можем использовать тангенс угла для нахождения длины AM:

• tg(60°) = AC / MA

Подставим известные значения:

• tg(60°) = √3
• MA = AC / tg(60°) = (3√2) / √3 = 3√6 / 3 = 3√6 см

Теперь мы можем найти длину отрезка MB. Рассмотрим треугольник AMB, который также является прямоугольным. Используем теорему Пифагора:

• MB² = MA² + AB²

Подставим известные значения:

• MA² = (3√6)² = 54
• AB² = 6² = 36
• MB² = 54 + 36 = 90
• MB = √90 = 3√10 см

Таким образом, длина отрезка MB равна 3√10 см.