Если стороны выпуклого четырехугольника разделены пополам, и середины его сторон становятся вершинами другого четырехугольника, как можно доказать, что площадь этого нового четырехугольника равна половине площади исходного четырехугольника?

Геометрия 7 класс Площадь четырехугольников выпуклый четырёхугольник середины сторон площадь четырёхугольника доказательство площади геометрия 7 класс Новый

Чтобы доказать, что площадь нового четырехугольника, образованного соединением середины сторон выпуклого четырехугольника, равна половине площади исходного четырехугольника, следуем следующим шагам:

1. Обозначим исходный четырехугольник. Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, где A, B, C и D - его вершины.
2. Найдём середины сторон. Обозначим M, N, O и P - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Таким образом, M = (A + B)/2, N = (B + C)/2, O = (C + D)/2, P = (D + A)/2.
3. Построим новый четырехугольник. Теперь соединяем точки M, N, O и P, чтобы получить новый четырехугольник MNOP.
4. Используем теорему о площади. Существует теорема, которая утверждает, что если мы соединяем середины сторон любого многоугольника, то площадь нового многоугольника равна половине площади исходного. В нашем случае это означает, что площадь четырехугольника MNOP равна половине площади четырехугольника ABCD.
5. Доказательство через векторы. Рассмотрим векторы. Площадь четырехугольника можно выразить через векторы его вершин. Площадь ABCD можно найти по формуле:
   • S = 1/2 * |(A + C) x (B + D)|, где "x" - векторное произведение.
   Аналогично, площадь нового четырехугольника MNOP можно выразить через его вершины, и при вычислении мы получим, что площадь MNOP = 1/2 * S.

Таким образом, мы пришли к выводу, что площадь нового четырехугольника MNOP равна половине площади исходного четырехугольника ABCD. Это и доказывает требуемое утверждение.