Площадь прямоугольника равна 36 см в квадрате. Какова площадь четырехугольника, у которого вершинами являются середины сторон этого прямоугольника?

Геометрия 7 класс Площадь четырехугольников площадь прямоугольника площадь четырёхугольника середины сторон прямоугольника геометрия 7 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, давайте сначала разберем, что мы имеем.

Площадь прямоугольника равна 36 см². Обозначим его стороны как a и b. Тогда:

• a * b = 36

Теперь найдем координаты середины сторон прямоугольника. Пусть прямоугольник имеет следующие координаты вершин:

• Точка A (0, 0)
• Точка B (a, 0)
• Точка C (a, b)
• Точка D (0, b)

Теперь найдем координаты середины каждой стороны:

• Середина AB (M1) = ((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0)
• Середина BC (M2) = ((a + a)/2, (0 + b)/2) = (a, b/2)
• Середина CD (M3) = ((a + 0)/2, (b + b)/2) = (a/2, b)
• Середина DA (M4) = ((0 + 0)/2, (b + 0)/2) = (0, b/2)

Теперь у нас есть координаты четырехугольника M1, M2, M3 и M4:

• M1 (a/2, 0)
• M2 (a, b/2)
• M3 (a/2, b)
• M4 (0, b/2)

Чтобы найти площадь четырехугольника, можно воспользоваться формулой для площади многоугольника по координатам его вершин:

Площадь = 1/2 * |x1*y2 + x2*y3 + x3*y4 + x4*y1 - (y1*x2 + y2*x3 + y3*x4 + y4*x1|

Подставим наши координаты:

• x1 = a/2, y1 = 0
• x2 = a, y2 = b/2
• x3 = a/2, y3 = b
• x4 = 0, y4 = b/2

Теперь подставим в формулу:

1. Считаем: (a/2)*(b/2) + a*(b) + (a/2)*(b/2) + (0)*(0) = (ab/4) + ab + (ab/4) = (ab/2) + ab = (3ab/2)
2. Считаем: (0)*(a) + (b/2)*(a/2) + (b)*(0) + (b/2)*(0) = (0) + (ab/4) + (0) + (0) = (ab/4)

Теперь подставим эти значения в формулу площади:

Площадь = 1/2 * |(3ab/2) - (ab/4)|

Приведем к общему знаменателю:

3ab/2 = 6ab/4, тогда:

Площадь = 1/2 * |(6ab/4) - (ab/4)| = 1/2 * |(5ab/4)| = (5ab/8)

Мы знаем, что ab = 36, подставим это значение:

Площадь = (5 * 36) / 8 = 180 / 8 = 22.5 см².

Таким образом, площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, равна 22.5 см².