Для доказательства равенства треугольников ABC и NKM, мы можем использовать признак равенства треугольников по двум углам и стороне (Углы-Угол-Стена, или УУС). Давайте разберемся, какие углы и стороны у нас есть, исходя из данных условий.

Из условия нам даны следующие соотношения:

• M + K = A + C
• C = 4K
• 4C = 2M
• 2B = 2M

Теперь давайте разберем каждое из условий:

1. Из условия C = 4K мы можем выразить C через K. Подставим это значение в другие уравнения.
2. Подставим C = 4K в 4C = 2M:
• 4(4K) = 2M
• 16K = 2M
• Отсюда M = 8K.
3. Теперь подставим M = 8K в 2B = 2M:
• 2B = 2(8K)
• 2B = 16K
• Отсюда B = 8K.

Теперь у нас есть все стороны, выраженные через K:

• K - сторона треугольника NKM;
• C = 4K - сторона треугольника ABC;
• M = 8K - сторона треугольника NKM;
• B = 8K - сторона треугольника ABC.

Теперь мы можем заметить, что:

• Сторона AB (4K) соответствует стороне NK (K);
• Сторона AC (8K) соответствует стороне NM (8K);
• Сторона BC (8K) соответствует стороне KM (K).

Таким образом, мы можем заключить, что:

• Углы A и N равны (по условию);
• Углы B и K равны (по условию);
• Стороны AB и NK, AC и NM, BC и KM пропорциональны.

Следовательно, мы можем использовать признак равенства треугольников по двум углам и стороне, чтобы доказать, что треугольники ABC и NKM равны.

Ответ: Признак равенства треугольников по двум углам и стороне (УУС).