Площадь треугольника ABC составляет 40 см². На медиане AM есть точка P, которая делит её в отношении AP : PM = 2 : 3. Как можно найти площадь треугольника BPM?

Я помню, что для решения этой задачи нужно использовать свойства площади треугольника, но не совсем помню, как именно это сделать.

Геометрия 7 класс Площадь треугольника и медианы площадь треугольника треугольник ABC медиана AM точка P отношение AP : PM 2 : 3 площадь треугольника BPM свойства площади треугольника геометрия 7 класс задачи по геометрии решение задач деление медианы свойства треугольников площадь геометрические фигуры Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть треугольник ABC, площадь которого составляет 40 см². Мы проведем медиану AM, которая делит треугольник на две равные части. Это означает, что площадь треугольника ABM равна 20 см², так как 40 см² делится пополам.

Теперь у нас есть точка P на медиане AM, которая делит медиану в отношении 2:3. Это означает, что отрезок AP составляет 2 части, а отрезок PM — 3 части. Важно понять, что это отношение также влияет на площади треугольников, образованных этой точкой.

Для наглядности представим, что мы опустим перпендикуляр из точки B на сторону AM и обозначим точку падения этого перпендикуляра как K. Эта высота BK будет общей для треугольников BPM и BAM, так как оба треугольника имеют вершину B и основание на медиане AM.

Теперь мы можем рассмотреть основания этих треугольников. Отрезок AP составляет 2 части, а отрезок PM — 3 части. Таким образом, длина отрезка AM в целом равна 5 частям. Следовательно, основания треугольников можно сравнить так:

• Основание треугольника BAM — это отрезок AM, который соответствует 5 частям;
• Основание треугольника BPM — это отрезок PM, который соответствует 3 частям.

Таким образом, соотношение оснований треугольников BPM и BAM будет 3:5.

Согласно свойству площадей треугольников, если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей будет равно отношению длин их оснований. То есть:

• S(BPM) : S(BAM) = 3 : 5.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BPM. Мы знаем, что площадь S(BAM) равна 20 см². Используя пропорцию, мы можем выразить площадь S(BPM):

• S(BPM) = S(BAM) * (3 / 5) = 20 * (3 / 5) = 12 см².

Таким образом, площадь треугольника BPM составляет 12 см².