В прямоугольнике ABCD точки K, M, N, L являются серединами сторон. Как можно доказать, что фигура KMNL является ромбом?

Геометрия 7 класс Свойства прямоугольника прямоугольник ABCD середины сторон фигура KMNL доказательство ромба свойства ромба геометрия 7 класс доказательство в геометрии Новый

Чтобы доказать, что фигура KMNL является ромбом, нам нужно показать, что все ее стороны равны. Для этого мы воспользуемся свойствами прямоугольника и тем, что K, M, N и L — середины сторон.

Рассмотрим прямоугольник ABCD, где:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Теперь найдем координаты точек K, M, N и L:

• K — середина AB: K((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = K(a/2, 0)
• M — середина BC: M((a + a)/2, (0 + b)/2) = M(a, b/2)
• N — середина CD: N((a + 0)/2, (b + b)/2) = N(a/2, b)
• L — середина DA: L((0 + 0)/2, (b + 0)/2) = L(0, b/2)

Теперь найдем длины сторон KM, MN, NL и LK:

1. Длина KM:

KM = √[(a - a/2)² + (b/2 - 0)²] = √[(a/2)² + (b/2)²] = √[(a² + b²)/4] = (1/2)√(a² + b²)

2. Длина MN:

MN = √[(a/2 - a)² + (b - b/2)²] = √[(-a/2)² + (b/2)²] = √[(a²/4) + (b²/4)] = (1/2)√(a² + b²)

3. Длина NL:

NL = √[(0 - a/2)² + (b/2 - b)²] = √[(-a/2)² + (-b/2)²] = √[(a²/4) + (b²/4)] = (1/2)√(a² + b²)

4. Длина LK:

LK = √[(a/2 - 0)² + (0 - b/2)²] = √[(a/2)² + (-b/2)²] = √[(a²/4) + (b²/4)] = (1/2)√(a² + b²)

Таким образом, мы видим, что:

• KM = MN = NL = LK = (1/2)√(a² + b²)

Поскольку все стороны KMNL равны, мы можем заключить, что фигура KMNL является ромбом. Кроме того, в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, что также будет выполнено для данной фигуры, так как она образована из середины сторон прямоугольника.

Таким образом, мы доказали, что фигура KMNL является ромбом.