В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4 : 7 (меньшая часть при катете). Какой угол в этом треугольнике?

Геометрия 7 класс Прямоугольные треугольники и их свойства Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90 градусам. Гипотенуза AC, катеты AB и BC. Обозначим угол A как α, а угол B как β. Мы знаем, что α + β = 90 градусов.

Согласно условию, к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр, который пересекает катет BC в точке D. Отрезок AD соединяет точку D с концом другого катета B.

Далее, отрезок AD делит угол ADB в отношении 4 : 7. Это означает, что:

• меньшая часть угла ADB равна 4x,
• большая часть угла ADB равна 7x.

Сумма углов ADB равна 4x + 7x = 11x. Таким образом, угол ADB можно выразить как:

ADB = 11x.

Теперь, зная, что угол C равен 90 градусам, мы можем записать следующее уравнение:

ADB + ABC + ACB = 180 градусов.

Так как ABC = β и ACB = α, мы можем выразить угол ADB через α и β:

11x + α + β = 180 градусов.

Подставим β = 90 - α:

11x + α + (90 - α) = 180.

11x + 90 = 180.

11x = 90.

x = 90 / 11.

Теперь подставим значение x обратно, чтобы найти угол ADB:

ADB = 11x = 11 * (90 / 11) = 90 градусов.

Так как ADB является внешним углом для треугольника ABC, то:

ADB = α + β.

Так как угол ADB равен 90 градусам, мы можем записать:

α + β = 90 градусов.

Теперь, чтобы найти угол A, воспользуемся соотношением деления угла:

Угол ADB делится в отношении 4:7, значит:

4x + 7x = 90 градусов.

Зная, что 11x = 90, мы можем найти угол A:

4x = 4 * (90 / 11) = 360 / 11.

Таким образом, угол A равен:

α = 360 / 11 градусов.

Теперь, чтобы найти угол B:

β = 90 - α = 90 - (360 / 11) = (990 - 360) / 11 = 630 / 11.

Таким образом, угол A в данном треугольнике равен 360 / 11 градусов, а угол B равен 630 / 11 градусов.

Таким образом, ответ на вопрос: угол A равен 360 / 11 градусов (примерно 32.73 градуса).