В треугольнике ABC M является серединой отрезка AB, N - серединой отрезка BC, а P - серединой отрезка AC. Как можно доказать, что треугольники MNP и CPN равны?

Геометрия 7 класс Признаки равенства треугольников треугольники MNP и CPN доказательство равенства треугольников серединные отрезки треугольника геометрия 7 класс свойства треугольников Новый

Для доказательства равенства треугольников MNP и CPN мы можем воспользоваться признаками равенства треугольников. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам это сделать.

1. Определим точки M, N и P:
   • M - середина отрезка AB.
   • N - середина отрезка BC.
   • P - середина отрезка AC.
2. Запишем координаты точек:
   • Предположим, что координаты A, B и C равны (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) соответственно.
   • Тогда координаты точки M будут: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
   • Координаты точки N будут: N = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2).
   • Координаты точки P будут: P = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2).
3. Рассмотрим стороны треугольников:
   • Сторона MN: MN = N - M = ((x2 + x3)/2 - (x1 + x2)/2, (y2 + y3)/2 - (y1 + y2)/2) = ((x3 - x1)/2, (y3 - y1)/2).
   • Сторона NP: NP = P - N = ((x1 + x3)/2 - (x2 + x3)/2, (y1 + y3)/2 - (y2 + y3)/2) = ((x1 - x2)/2, (y1 - y2)/2).
   • Сторона PM: PM = M - P = ((x1 + x2)/2 - (x1 + x3)/2, (y1 + y2)/2 - (y1 + y3)/2) = ((x2 - x3)/2, (y2 - y3)/2).
4. Проверим равенство сторон:
   • Стороны MN и CP: CP = ((x3 - x1)/2, (y3 - y1)/2), что совпадает с MN.
   • Стороны NP и PC: PC = ((x1 - x2)/2, (y1 - y2)/2), что совпадает с NP.
   • Стороны PM и CN: CN = ((x2 - x3)/2, (y2 - y3)/2), что совпадает с PM.
5. Заключение:
   • Мы показали, что стороны треугольников MNP и CPN равны.
   • Кроме того, углы при вершинах M и C равны, так как они являются углами между равными сторонами.
   • Таким образом, треугольники MNP и CPN равны по критерию SSS (сторона-сторона-сторона).

Таким образом, мы доказали, что треугольники MNP и CPN равны.