1. Вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный четырёхугольник является правильным.

2. В окружности радиуса 2 корня из 3 см вписан правильный треугольник. Найдите:

• а) сторону треугольника;
• б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Геометрия 8 класс Правильные многоугольники и их свойства геометрия 8 класс Правильный восьмиугольник вершины отрезки четырёхугольник доказательство окружность радиус правильный треугольник сторона треугольника радиус вписанной окружности задачи по геометрии свойства многоугольников геометрические доказательства Новый

1. Доказательство, что полученный четырёхугольник является правильным:

Рассмотрим правильный восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны. Назовем его вершины A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 и A8. Мы будем соединять вершины восьмиугольника, взятые через одну, то есть A1 с A3, A3 с A5, A5 с A7 и A7 с A1.

Теперь давайте рассмотрим получившийся четырёхугольник A1A3A5A7. Чтобы доказать, что этот четырёхугольник является правильным, нам нужно показать, что все его стороны равны и все углы равны.

• Стороны: Все стороны четырёхугольника A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1 соответствуют двум сторонам правильного восьмиугольника. Поскольку все стороны восьмиугольника равны, то и все стороны A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1 также равны.
• Углы: Углы между этими сторонами также равны. Это происходит потому, что угол между любыми двумя последовательными сторонами правильного восьмиугольника равен 135 градусам, и так как мы соединяем вершины через одну, то угол между A1A3 и A3A5 будет равен тому же углу. Таким образом, углы A1A3A5 и A3A5A7 также равны.

Поскольку у нас есть равные стороны и равные углы, это значит, что четырёхугольник A1A3A5A7 является ромбом. Но так как все углы равны и равны 90 градусам (поскольку он образован из правильного восьмиугольника), то этот ромб также является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что полученный четырёхугольник является правильным.

2. Найдем сторону правильного треугольника и радиус вписанной окружности:

а) Для начала, мы знаем, что радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, равен R. Формула для нахождения стороны правильного треугольника a через радиус окружности R выражается как:

a = R * √3. Подставим значение радиуса R = 2√3 см:

a = 2√3 * √3 = 2 * 3 = 6 см.

Таким образом, сторона треугольника равна 6 см.

б) Теперь найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Формула для радиуса r вписанной окружности в правильный треугольник также зависит от его стороны a и выражается как:

r = (√3 / 6) * a. Подставим найденную сторону a = 6 см:

r = (√3 / 6) * 6 = √3 см.

Итак, радиус вписанной окружности равен √3 см.