Похожие вопросы
2024-11-16 09:48:13
1. Вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный четырёхугольник является правильным.
2. В окружности радиуса 2 корня из 3 см вписан правильный треугольник. Найдите:
- а) сторону треугольника;
- б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
Геометрия8 классПравильные многоугольники и их свойствагеометрия8 классПравильный восьмиугольниквершиныотрезкичетырёхугольникдоказательствоокружностьрадиусправильный треугольниксторона треугольникарадиус вписанной окружностизадачи по геометриисвойства многоугольниковгеометрические доказательства
2024-11-16 09:48:14
1. Доказательство, что полученный четырёхугольник является правильным:
Рассмотрим правильный восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны. Назовем его вершины A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 и A8. Мы будем соединять вершины восьмиугольника, взятые через одну, то есть A1 с A3, A3 с A5, A5 с A7 и A7 с A1.
Теперь давайте рассмотрим получившийся четырёхугольник A1A3A5A7. Чтобы доказать, что этот четырёхугольник является правильным, нам нужно показать, что все его стороны равны и все углы равны.
- Стороны: Все стороны четырёхугольника A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1 соответствуют двум сторонам правильного восьмиугольника. Поскольку все стороны восьмиугольника равны, то и все стороны A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1 также равны.
- Углы: Углы между этими сторонами также равны. Это происходит потому, что угол между любыми двумя последовательными сторонами правильного восьмиугольника равен 135 градусам, и так как мы соединяем вершины через одну, то угол между A1A3 и A3A5 будет равен тому же углу. Таким образом, углы A1A3A5 и A3A5A7 также равны.
Поскольку у нас есть равные стороны и равные углы, это значит, что четырёхугольник A1A3A5A7 является ромбом. Но так как все углы равны и равны 90 градусам (поскольку он образован из правильного восьмиугольника),то этот ромб также является квадратом.
Таким образом, мы доказали, что полученный четырёхугольник является правильным.
2. Найдем сторону правильного треугольника и радиус вписанной окружности:
а) Для начала, мы знаем, что радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, равен R. Формула для нахождения стороны правильного треугольника a через радиус окружности R выражается как:
a = R * √3. Подставим значение радиуса R = 2√3 см:
a = 2√3 * √3 = 2 * 3 = 6 см.
Таким образом, сторона треугольника равна 6 см.
б) Теперь найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Формула для радиуса r вписанной окружности в правильный треугольник также зависит от его стороны a и выражается как:
r = (√3 / 6) * a. Подставим найденную сторону a = 6 см:
r = (√3 / 6) * 6 = √3 см.
Итак, радиус вписанной окружности равен √3 см.
